2020年九年级数学《冲刺中考》压轴真题 ：一次函数（2019年）真题训练（含答案）.doc

《冲刺中考》压轴真题（2019年）培优训练： 《一次函数》

1．（2019·湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．

根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：

（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

 

解：（1）由图可得，

甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），

乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），

答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；

（2）设直线OA的解析式为y＝kx，

30k＝2400，得k＝80，

∴直线OA的解析式为y＝80x，

当x＝18时，y＝80×18＝1440，

则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），

∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），

∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），

当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），

∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），

答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；

（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），

乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），

当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．

 

2．（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．

例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．

（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．

（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．

①试确定y与x的关系式．

②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．

 

解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，

故点C是点A、B的融合点；

（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），

则t＝3x﹣3，

则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；

②当∠DHT＝90°时，如图1所示，

 

点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），

由点T是点D，E的融合点得：

t＝，2t﹣2＝，

解得：t＝，即点E（，6）；

当∠TDH＝90°时，如图2所示，

 

则点T（3，5），

由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；

当∠HTD＝90°时，如图3所示，

 

过点T作x轴的平行线加过点D于y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，

则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，

D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（，）

则MT＝3﹣＝，MD＝，

NE＝﹣2t﹣3＝，NT＝﹣t＝，

由tan∠MDT＝tan∠NTE得：，

解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．

故点E（，6）或（6，15）．

3．（2019·重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；

（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．

 

解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，

∴，得，

∴这个函数的表达式是y＝|x﹣3|﹣4；

（2）∵y＝|x﹣3|﹣4，

∴y＝，

∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2）；

该函数的图象如右图所示，性质是当x＞2时，y随x的增大而增大；

（3）由函数图象可得，

不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集是1≤x≤4．

 

4．（2019·重庆）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	…
y	…	﹣6	﹣4	﹣2	0	﹣2	﹣4	﹣6	…

 

（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．

（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．

（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x₁，y₁）和（x₂，y₂）在该函数图象上，且x₂＞x₁＞3，比较y₁，y₂的大小．

解：（1）A（0，2），B（﹣2，0），函数y＝﹣2|x+2|的对称轴为x＝﹣2；

（2）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y＝﹣2|x|+2的图象；

将函数y＝﹣2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y＝﹣2|x+2|的图象；

（3）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．

所画图象如图所示，当x₂＞x₁＞3时，y₁＞y₂．

 

5．（2019·无锡）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE﹣EF所示．

（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？

（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．

 

解：（1）由题意可得：小丽速度＝＝16（km/h）

设小明速度为xkm/h

由题意得：1×（16+x）＝36

∴x＝20

答：小明的速度为20km/h，小丽的速度为16km/h．

（2）由图象可得：点E表示小明到了甲地，此时小丽没到，

∴点E的横坐标＝＝，

点E的纵坐标＝＝

∴点E（，）

6．（2019·攀枝花）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．

（1）求线段AP长度的取值范围；

（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．

（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

 

解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，

 

∵点P在y＝x的图象上

∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°

∵A（0，2）

∴AH＝AO·sin60°＝

∴AP≥

（2）

①当点P在第三象限时，如图2，

 

由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，

∴∠PAQ＝∠POQ＝30°

②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3

由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆

∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°

∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°

③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，

由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°

∴Q、P、O、A四点共圆

∴∠PAQ＝∠POQ＝30°

（3）设P（m，m），则l_AP：y＝x+2，

∵PQ⊥AP

∴k_PQ＝

∴l_PQ：y＝（x﹣m）+m

∴Q（，0）

∴OP²＝m²，OQ²＝m²﹣m+

PQ²＝m²﹣m+

①OP＝OQ时，则m²＝m²﹣m+

整理得：m²﹣4m+3＝0

解得m＝2±3

∴Q₁（2+4，0），Q₂（2﹣4，0）

②当PO＝PQ时，则m²＝m²﹣m+

整理得：2m²+

解得：m＝或m＝﹣

当m＝时，Q点与O重合，舍去，

∴m＝﹣

∴Q₃（﹣2，0）

③当QO＝QP时，

则

整理得：m²﹣

解得：m＝

∴Q₄（）

∴点Q的坐标为（2+4，0）或（2﹣4，0）或（﹣2，0）或（）．

7．（2019·温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q₁向终点Q₂匀速运动，它们同时到达终点．

 

（1）求点B的坐标和OE的长．

（2）设点Q₂为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q₂的坐标．

（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．

①延长AD交直线BC于点Q₃，当点Q在线段Q₂Q₃上时，设Q₃Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．

②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．

解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，

∴x＝8，

∴B（8，0），

∵C（0，4），

∴OC＝4，OB＝8，

在Rt△BOC中，BC＝＝4，

又∵E为BC中点，

∴OE＝BC＝2；

（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，

 

∵E是BC的中点

∴M是OC的中点

∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2

∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE

∴△CDN∽△MEN，

∴＝1，

∴CN＝MN＝1，

∴EN＝＝，

∵S_△ONE＝EN·OF＝ON·EM，

∴OF＝＝，

由勾股定理得：EF＝＝＝，

∴tan∠EOF＝＝＝，

∴＝＝，

∵n＝﹣m+4，

∴m＝6，n＝1，

∴Q₂（6，1）；

（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，

∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，

∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，

∴t＝2时，CD＝4，DQ₃＝2，

∴s＝Q₃C＝＝2，

∵Q₃（﹣4，6），Q₂（6，1），

∴t＝4时，s＝＝5，

将或代入得，解得：，

∴s＝﹣，

②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，

作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH＝PB，

 

Rt△ABQ₃中，AQ₃＝6，AB＝4+8＝12，

∴BQ₃＝＝6，

∵BQ＝6﹣s＝6﹣t+＝7﹣t，

∵cos∠QBH＝＝＝＝，

∴BH＝14﹣3t，

∴PB＝28﹣6t，

∴t+28﹣6t＝12，t＝；

（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ₃于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，

 

由△Q₃QG∽△CBO得：Q₃G：QG：Q₃Q＝1：2：，

∵Q₃Q＝s＝t﹣，

∴Q₃G＝t﹣1，GQ＝3t﹣2，

∴PH＝AG＝AQ₃﹣Q₃G＝6﹣（t﹣1）＝7﹣t，

∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，

∵∠HPQ＝∠CDN，

∴tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，

∴2t﹣2＝，t＝，

（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，

综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．

8．（2019·泰州）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg．图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系．

（1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；

（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？

 

解：（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得

，解得，

∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣0.01x+6（100≤x≤300）；

（2）设小李共批发水果m千克，则单价为﹣0.01m+6，

根据题意得：﹣0.01m+6＝，

解得m＝200或m＝400，

经检验，m＝200，m＝400（不合题意，舍去）都是原方程的根．

答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．

9．（2019·宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．

（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．

（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．

（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）

 

解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），

把（20，0），（38，2700）代入y＝kx+b，得，解得，

∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝150x﹣3000（20≤x≤38）；

（2）把y＝1500代入y＝150x﹣3000，解得x＝30，

30﹣20＝10（分），

∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；

（3）设小聪坐上了第n班车，则

30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，

∴小聪坐上了第5班车，

等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），

步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），

20﹣（8+5）＝7（分），

∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．

10．（2019·宜昌）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．

（1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费　7　元．若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按　5　小时（填整数）计时收费．

（2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数解析式．

解：（1）若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2×2＝7（元）；

若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），所以停车场按5小时计时收费．

故答案为：7；5；

（2）当x取整数且x≥1时，该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数解析式为：y＝3+2（x﹣1），

即y＝2x+1．

11．（2019·临沂）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水．

x/h	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y/m	14	15	16	17	18	14.4	12	10.3	9	8	7.2

（1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点．

（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．

（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6m．

 

解：（1）在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示．

   （2）观察图象当0＜x＜8时，y与x可能是一次函数关系：设y＝kx+b，把（0，14），（8，18）代入得

 解得：k＝，b＝14，y与x的关系式为：y＝x+14，经验证（2，15），（4，16），（6，17）都满足y＝x+14

   因此放水前y与x的关系式为：y＝x+14  （0＜x＜8）

  观察图象当x＞8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现：8×18＝10×14.4＝12×12＝16×9＝18×8＝144．

  因此放水后y与x的关系最符合反比例函数，关系式为：．（x＞8）

  所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：y＝x+14  （0＜x＜8）和 ．（x＞8）

   （3）当y＝6时，6＝，解得：x＝24，

   因此预计24h水位达到6m．

 

12．（2019·徐州）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y₁m、y₂m．已知y₁、y₂与x之间的函数关系如图②所示．

 

（1）求甲、乙两人的速度；

（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？

解：（1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，则：

y₁＝

y₂＝bx

由图②知：x＝3.75或7.5时，y₁＝y₂，∴，解得：

∴y₁＝1200﹣240x，令y₁＝0，则x＝5

∴y₁＝

  y₂＝80x

答：甲的速度为240m/min，乙的速度为80m/min．

（2）设甲、乙之间距离为d，

则d²＝（1200﹣240x）²+（80x）²

＝64000（x﹣）²+144000，

∴当x＝时，d²的最小值为144000，即d的最小值为120；

答：当x＝时，甲、乙两人之间的距离最短．

13．（2019·赤峰）阅读下面材料：

我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算．

例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．

解：∵y＝﹣2x+5

∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5

∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：

d＝＝＝＝

根据以上材料解答下列问题：

（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；

（2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．

 

解：（1）∵3x﹣y+7＝0，

∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．

∵点Q（﹣2，2），

∴d＝＝＝．

∴点Q（﹣2，2）到到直线3x﹣y+7＝0的距离为；

（2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y＝﹣x+2，

在直线y＝﹣x上任意取一点P，

当x＝0时，y＝0．

∴P（0，0）．

∵直线y＝﹣x+2，

∴A＝1，B＝1，C＝﹣2

∴d＝＝，

∴两平行线之间的距离为．

14．（2019·齐齐哈尔）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）货车的速度是　50　千米/小时；轿车的速度是　80　千米/小时；t值为　3　．

（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．

 

解：（1）货车的速度是50千米/小时；

货车所用时间为400÷50＝8小时，

∴轿车的速度是：480÷（7﹣1）＝80千米/小时；t＝240÷80＝3．

故答案为：50；80；3；

（2）由题意可知：A（3，240），B（4，240），C（7，0），

设直线OA的解析式为y＝k₁x（k₁≠0），

∴y＝80x（0≤x≤3），

当3≤x≤4时，y＝240，

设直线BC的解析式为y＝k₂x+b（k≠0），

把B（4，240），C（7，0）代入得：

，解得，

∴y＝﹣80x+560（4≤x≤7）

∴y＝；

（3）设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：

50x+80（x﹣1）＝400﹣90或50x+80（x﹣2）＝400+90，

解得x＝3或5．

答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．

15．（2019·镇江）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．

在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

【观察】

①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　90　个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　120　个单位长度；

【发现】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．

①a＝　50　；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；

【拓展】

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．

若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　0＜x≤12或48≤x≤72　．（直接写出结果）

 

解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，

∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，

设机器人甲的速度为v，

∴机器人乙的速度为v＝4v，

∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，

机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，

∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，

机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，

设此时相遇点距点A为m个单位，

根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），

∴m＝90，

故答案为：90；

②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，

∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，

设机器人甲的速度为v，

∴机器人乙的速度为v＝v，

∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，

机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，

∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，

设此时相遇点距点A为m个单位，

根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），

∴m＝120，

故答案为：120；

【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，

设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，

根据题意知，150﹣x＝2x，

∴x＝50，

即：a＝50，

故答案为：50；

②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，

∴线段OP的表达式为y＝3x，

当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，

设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，

根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），

∴y＝﹣3x+300，

即：y＝，

补全图形如图2所示，

【拓展】①如图，

 

由题意知，＝，

∴y＝5x，

∵0＜y≤60，

∴0＜x≤12；

②如图，

 

∴，

∴y＝﹣5x+300，

∵0≤y≤60，

∴48≤x≤60，

③如图，

 

由题意得，＝，

∴y＝5x﹣300，

∵0≤y≤60，

∴60≤x≤72，

∵0＜x＜75，

∴48≤x≤72，

综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，

故答案为0＜x≤12或48≤x≤72．