 解：（1）△ABE≌△CBF，理由如下： ∵△ABC和△BEF都是等边三角形 ∴AB=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60° ∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC ∴∠ABE=∠CBF ∴△ABE≌△CBF  （2）∵S[△ABE]=S[△CBF] ∵S[四边形ABFC]=S[△ABC]+S[△CBF]=(7√(3)/4) ∴S[△ABC]+S[△ABE]=(7√(3)/4) 过点C作CH⊥AB ∵AB=2，∠CAH=60° ∴CH=√(3) ∴S[△ABC]=(1/2)×2×√(3)=√(3) ∴S[△ABE]=(7√(3)/4)-√(3)=(3√(3)/4) 过点E作EG⊥AB ∴(1/2)AB*EG=(3√(3)/4) EG=(3√(3)/4) ∵∠EAG=60° ∴AE=(3/2)  （3）S[2]-S[1]=√(3)，理由如下： ∵△ABC和△BEF都是等边三角形 ∴AB=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60° ∴∠ABC+∠EBC=∠EBF+∠EBC ∴∠ABE=∠CBF ∴△ABE≌△CBF ∴S[△ABE]=S[△CBF] ∵S[2]=S[△CBF]-S[△CDB]=S[△ABE]-S[△CDB]=S[△ABC]+S[1] ∴S[2]-S[1]=S[△ABC]=√(3) ∴S[2]-S[1]=√(3)  （4）过点E作EN⊥CD,过点B作BM⊥DF ∵△ABE≌△CBF ∴∠A=∠FCB=60° ∴∠ECD=60° ∵∠ECD=∠FBD,∠CDE=∠BDF ∴△CDE∽△BDF ∴(S[△CDE]/S[△BDF])=((CE^2)/B(F^2)) ∵S[1]=(√(3)/6),S[2]-S[1]=√(3) ∴S[2]=(7√(3)/6) ∴((CE^2)/B(F^2))=(1/7) ∴CE:BF=1:√(7) ∵∠FCB=∠ABC=60° ∴AB∥CF ∴BM=√(3) ∴DF=(7/3) ∴DE=(√(7)/3) 设CE=x，则BE=√(7)x ∴BD=√(7)x-(√(7)/3) ∵AB∥CD ∴(CE/AC)=(DE/BD) ∴(x/2)=((√(7)/3)/√(7)x-(√(7)/3)) 解得：x=1 ∴AE=3  勾股定理的解法也很不错的  2019河南中考数学压轴题  解：(BD/CP)=1,直线BD与直线CP相交所成的较小角 的度数是60°,理由如下： ∵α=60°,AC=BC ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB,∠CAB=60° ∵AP=PD,α=60° ∴△APD是等边三角形 ∴AP=AD,∠PAD=60° ∵∠CAP+∠PAB=∠BAD+∠PAD ∴∠CAP=∠BAD ∴△CAP≌△BAD ∴CP=BD ∴(BD/CP)=1 延长CP与BD延长线交与点E ∵△CAP≌△BAD ∴∠ACP=∠ABD ∵∠ACP+∠BCP+∠ABC=120° ∴∠ABD+∠BCP+∠ABC=120° ∴∠CEB=180°-120°=60° ∴直线BD与直线CP相交所成的较小角 的度数是60°  解：(BD/CP)=√(2),直线BD与直线CP相交所成的较小角 的度数是45°,理由如下： ∵α=90°,AC=BC ∴△ABC是等腰直角三角形 ∴√(2)AC=AB,∠CAB=45° ∵AP=PD,α=90° ∴△APD是等腰直角三角形 ∴√(2)AP=AD,∠PAD=45° ∵∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC ∴∠DAB=∠PAC ∴△DAB∽△PAC ∴(BD/CP)=√(5)，∠DBA=∠PCA 设PC与BD相交于点F ∵∠CFB+∠PCA=∠CAB+∠DBA ∴∠CFB=∠CAB=45° ∴直线BD与直线CP相交所成的较小角 的度数是45°  解：（1）当点P在△ABC外时，C,D,P三点共线 ∵△PAC∽△DAB ∴∠CPA=∠BDA=90° ∵∠PDA=45° ∴∠DAC+∠DCA=45° ∵E,F是CA,CB的中点 ∴∠CEF=45°,CE=AE ∵∠CPA=90° ∴PE=CE=AE ∴∠EPC+∠ECP=45°,∠ECP=∠EPC ∴∠DAC=∠DCA ∴AD=DC 设AP=a，则PD=a，AD=CD=√(2)a ∴(AD/CP)=(√(2)a/a+√(2)a)=2-√(2) 解：（2）当点P在△ABC内时，C,P,D三点共线 ∵△PAC∽△DAB ∴∠CPA=∠BDA=90° ∵∠PDA=45° ∴∠DAC+∠DCA=135° ∵E,F是CA,CB的中点 ∴∠CEF=45°,CE=AE ∵∠CPA=90° ∴PE=CE=AE ∴∠EPC+∠ECP=135°,∠ECP=∠EPC ∴∠DAC=∠DCA ∴AD=DC 设AD=√(2)a，则PD=a，CD=√(2)a ∴(AD/CP)=(√(2)a/√(2)a-a)=2+√(2)   解：（1）∵∠BAC=∠BED=90° ∴∠ABE+∠ADE=180° ∴∠FDE+∠ADE=180° ∴A,D,F三点共线 ∵AD=2AB,AB=2 ∴AD=4,DF=2 ∴AF=6 ∵AE=FE,∠AEF=90° ∴AF=√(2)AE ∴AE=3√(2) （2）将△AEB绕点E逆时针旋转90°得到△FED ∵AE=EF,∠AEF=90° ∴AF=√(2)AE ∵AD=2AB=2m ∴AF=m ∴AE=(√(2)/2)m （3）第一种情况：点F在正方形外部 设AF[1]=2x，则AE[1]=x，AB=6x ∴BE[1]=√(35)x ∴ME[1]=√(35)x+x ∴OE[1]=(√(70)+√(2)/2)x ∵AB=6x ∴OE[1]=(√(70)+√(2)/12)AB 第二种情况：点F在正方形内部 设AF[2]=2x，则AE[2]=x，AB=6x ∴BE[2]=√(35)x ∴ME[2]=√(35)x-x ∴OE[2]=(√(70)-√(2)/2)x ∵AB=6x ∴OE[2]=(√(70)-√(2)/12)AB ∴OE=(√(70)±√(2)/12)AB 解：（1）①当α=0°时 ∵BC=12,AB=6,∠B=90° ∴AC=6√(5) ∵D是BC的中点 ∴BD=6 ∵E是AC的中点 ∴AE=3√(5) ∴(AE/BD)=(√(5)/2) ②当α=180°时 ∵DE=3，CD=6,∠D=90° ∴CE=3√(5) ∴AE=9√(5) ∵BC=12,CD=6 ∴BD=18 ∴(AE/BD)=(√(5)/2) （2）(AE/BD)的大小无变化，理由如下： ∵∠ACB=∠ECD ∴∠ACB+∠DCA=∠ECD+∠DCA ∴∠BCD=∠ACE ∵BC=12,AC=6√(5) ∴(AC/BC)=(√(5)/2) ∵CD=6,CE=3√(5) ∴(CE/CD)=(√(5)/2) ∵(AC/BC)=(CE/CD)=(√(5)/2),∠ACE=∠BCD ∴△ACE∽△BCD ∴(AE/BD)=(√(5)/2) （3）①当A,D,E三点共线时 BD=AC=6√(5) ②当A,E,D三点共线时 ∵AC=6√(5),DC=6 ∴AD=12 ∵DE=3 ∴AE=9 ∵△AEC∽△BDC ∴(AE/BD)=(√(5)/2) ∴BD=(18√(5)/5) |
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