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地上有山脉，决定地势走向和地理环境；人体有气脉，决定身体的新陈代谢和健康状况。数学题也有题脉哦，扣其脉顺其势见其形，犹如瓜藏叶下，顺藤而寻之。 有人做试验：在白纸上画一段圆弧，经过白纸的孩子们会自然而然地拿起笔补上线条，让圆弧成为一个完整的圆。更令人惊奇的是：大猩猩也有这样的癖好。 完形心理学认为思维是整体的、有意义的知觉，而不是联结起来的表象的简单集合；主张学习是在于构成一种完形，是改变一个完形为另一完形。 数学题也是如此，若能把图形构造完整则题目宣告解决。 在人的思维中，残缺的图形会产生一种趋向完整的“势”，驱动着人把它补充完整，从而使问题得以解决。 很多同学为什么解决不了难题呢？ 就是因为思维中缺乏“完形”，产生不了“图势”。 怎样训练解题思维？ 扣题脉，观图势。 例.已知点C是线段AE上的一点，ΔABC与ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠CDE=90°，M、N分别是AE、BD的中点，求MN与BD的数量关系与位置关系。 我们看这个图形，它是不完整的，因而是不美好的，相关的元素是那么地孤立分散，以至于我们看上去无路可走止步不前。 碰到这样的题目，千万不要害怕，不要退却，而应该感到兴奋，因为它正是你磨砺思维的工具，展现能力的舞台。 再说了，一眼看到结果的题目做起来很无聊的，相当于浪费时间。 据研究，爱动脑的人都很长寿哦。 那么对付这样的问题该怎么办呢？ 当然是逢山开路遇水架桥，没有联系创造联系，缺少条件创造条件。 我们来细致深入地分析一下这个题目。 整体结构：双等腰直角三角形，双中点。 总体图势：条件分散无联系，需要添补变换构造模型。 思路主脉：全等三角形，旋转构造。 基本图形：共点等线⇔旋转 在体育比赛中，要想达到最好的竞技效果，需要将每一个动作分解细化，然后进行科学系统的训练。 解题训练也是一样，要把思维过程分解细化，理清每一步操作的来龙去脉。若笼统粗放处理，必致遗留相当一部分学生无法跨越的思维暗箱。 让我们从问题情境出发，逐步扣其脉顺其势完其形。 题脉1：BC=AB且∠ABC=90°⇒ΔBCD绕点B逆时针旋转90度。 题脉2：M为AE的中点⇒ΔMDE绕点M旋转180度。 上述两法实为一： 也可以看成：ΔDMN以D为中心放大为2倍，或构造三角形中位线MN。 证明思路：利用两对全等一条中位线，证MN=1/2BF=1/2BD，∠DNM=∠DBF=90°。 题脉3：CD=DE且∠CDE=90°⇒ΔBCD绕点D顺时针旋转90度。 题脉4：M为AE的中点⇒ΔMAB绕点M旋转180度。 上述两法实质为一： 证明思路：利用两对全等一条中位线，证MN=1/2DF=1/2BD，∠BNM=∠BDF=90°。 题脉5：AB=BC且∠ABC=90°⇒ΔBCD顺时针旋转90度。 题脉6：N为BD的中点⇒ΔDEN绕点N旋转180度。 上述两种方法同样合而为一：
证明思路同样不变。注意垂直的证法，可以从整体上看因三角形旋转90度知BD⊥AF，又MN∥AF，得MN⊥BD。 题脉7：CD=DE且∠CDE=90°⇒ΔBCD逆时针旋转90度。
题脉8：N为BD的中点⇒ΔABN绕点N旋转180度。
同样合而为一：
图形结构与方法思路不变，仍是两对全等三角形与一条中位线。 有没有感受到这几种方法所包含的和谐、对称之美？ ΔABC与ΔCDE在图中的地位是对等的，所以在ΔABC处的操作在ΔCDE处完全可以套用。 把ΔBCD旋转90度与把三角形绕中点旋转180度所得到的点完美统一为同一个点。 上述几种思考可以归结为一：确定关键图形并以之为模板变换构造新图，本题即把ΔBCD运动至适当位置。 那么问题来了。 一、如何寻找关键图形？ 答：与条件、结论关系紧密的图形。如本题中的ΔBCD，BC、CD是等腰直角三角形的边，BD是结论中需要的边。 二、运动变换的依据是什么？ 答：根据条件、结论中所含的边角关系判断。如本题中根据“BC=AB且BC⊥AB、CD=DE且CD⊥DE”即可判断对应边垂直，把ΔBCD旋转90度便可成功构造。
三、如何快速准确构造图形？ 答：分步操作，联系组合，添补完形。如下面两图三角形变换的旋转中心分别是AC、CE的中点，一次性变换比较困难。
这时可以进行动作分解，先旋转，再平移。如下图：
题脉9：继续观察图形，当我们看到∠A=∠E=45°时，有没有产生一种冲动？
这种冲动是创造完美的欲望。
再添上底边中线、矩形对角线，是不是更完美了？
图形完美了，问题就完美解决了。 顺便提下垂直的证法：∠BNM=∠CNB+∠CNM=2(∠CFM+∠CFB)=2×45°=90°。 这个题目的使用价值还远未结束。 让大脑再烧一会儿。 题脉10：若连接MB、MD，ΔMBD应该是个等腰直角三角形吧。反过来想，我们只要证明ΔMBD是等腰直角三角形，问题即得证。
处理方式与前相同，把ΔMCD旋转90度呗。 敲黑板。。。 可以这么想，但不能这么写，因为MB与MD的关系是要求证的，不是已知的。 构造方法应为：作MF⊥MC，与BC的延长线交于F。
一定有同学感觉全等条件不够，有∠F=∠ACB=45°=∠MCD，MF＝MC，缺少一边或一角。找边还是找角呢？当然是找边啦，因为点M是AE中点这个条件还没用呢！请你试一试如何推导BF=CD。 题脉11：ΔMCD顺时针旋转90度可以成功，与之相对应的还有哪个三角形可以进行相应的旋转呢？ ΔMCB说：我也是靠在等腰直角三角形ΔMBD的腰上的三角形，它行我肯定也行呀！ 如下图，同样作MF⊥MC，交CD于F，“SAS”证明全等。需证DF=BC，DF=CD-CF=√2/2CE-√2CM=√2/2(CE-2CM)=√2/2(EM-CM)=√2/2(AM-CM)=√2/2AC=BC。
这两种方法感觉有点别扭，如证明DF=BC不够直接了当，显得拖泥带水繁琐冗长。下面看如何改进。 题脉12：ΔABM也是靠着ΔMBD的哦！把它转起来试试。（ΔDEM与ΔABM是等价的哟，要行一起行。）
转起来就会发现，不就是作等腰直角三角形AFE底边上的高么！
原来这才是最简洁的方法，堪称完美！ 想想看，这是为什么呢？ 因为这个图最完美呀！ 它有八个等腰直角三角形（最大的那个不画出来总是看起来不完整是不是？），一个矩形，两对全等（只用一对就可以了）。 小结：分析问题情境，紧扣题目的信息脉络，观察图形的发展趋势，顺藤摸瓜，左右逢源，解题实在是一种智力游戏。 到这里，这个题目完美收工。 但是，还不能就这么算了。 孙悟空苦练七十二变历经八十一难，方才得真经成正果。 来，练练变化之术：如下图，把等腰直角三角形旋转，当A、C、E不共线时，其它条件不变，原题的结论还成立吗？如何证明？
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