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若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。 －冯·诺依曼 读书之妙在于与作者发生共鸣，并且产生一种表达的欲望，把所读内容重新整合消化成为自己的东西。这一过程和吃饭消化是一样的，不管你吃的猪肉还是牛肉，最后都成为自己的新的身体组织。即使自己的思考发现与前人的思考成果相同，对个人而言，仍然是一种创造和突破。 人类的强大在于他的思维，并且他的思维具有持续的成长性。人类思维使混沌的模糊的难以把握的复杂现象变为有序的精确的易于掌控的简洁模型，正因为人们把所有复杂的操作全部转化为最简单的二进制运算，所以人类才能创造出像计算机这样精密的可控制的多功能的无与伦比的强大工具。 任何一个学科只有经过数学化，才可能应于实践，成为生产生活的工具，这正是数学的有序性、精确性决定的。处理任何事务，数学的思想方法和思维方式都是很有帮助的，因而，数学的学习决不能满足于埋头做题而没有对数学思维数学精神的领悟。 数学题的解决正是体现了把信息有序化、精确化（也就是模型化、简单化）的过程，如何把问题简单化？如何高效解决问题？我们从具体实例来领悟吧。 二、简单化的方法：加减、进退、分合、动静、数形，目标是构造模型建立联系，从而解决问题。 1.举一个网上的趣题：王老板是卖鞋的，进价50元的鞋30元亏本甩卖，顾客来买鞋给了50元，王老板没零钱找邻居换了50元零钱找给了顾客，事后邻居发现50元是假钱，王老板又赔给邻居50元，问王老板在这次交易中亏了多少钱？这道题绕住了不少人，其实稍有数学素养的人对这个问题很快可以简单化：邻居不亏不赚可以忽略不计，顾客付出的价值为0，得到50元的鞋和20元找零，顾客得到的就是王老板所亏的，显然王老板亏了70元。这就是“减”法，把无关紧要的信息忽略，抓住有效关系解题。 另外一个与书中类似的例子：在一条水流速度为3km/h的大河里，渔夫逆水开船而上，途中风把渔夫帽子吹落水中顺水漂走，渔夫把船开到离帽子5km的地方才发现帽子落水，于是他立刻掉头开船向帽子追去，若渔夫开船的速度是10km/h，他是在下午2点丢失帽子的，请问他何时能追上帽子？细思一下本题会发现，帽子和渔夫始终都在水中运动，水流速度对人和帽子的影响是相同的，我们在地球上计算有关运动问题考虑过地球的运动速度吗？肯定不用，完全可以把地球当成静止不动的。本题中直接忽略水流速度，当成在静止的水中运动，很简单得到结果：帽子落水后船追到帽子所走的路程为10km，用时1h，所以能在下午3时追上帽子。 2.已知(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求证:x-y=y-z. 本题解法比较多，如果直接把原等式展开的话很麻烦，我们从题目的整体结构及组成元素来看，题中多次出现x-y、y-z，而x-z似乎是一个障碍，需要进行转化，我们用“加”法，添加-y+y即可，x-z=x-y+y-z，这样形成关于x-y与y-z的完全平方与积的形式，[(x-y)+(y-z)]2-4(x-y)(y-z)=0，得[(x-y)-(y-z)]2=0，得(x-y)-(y-z)=0，即得x-y=y-z。从整体观点简化一下原式实质就是(m+n)2-4mn=(m-n)2。这里是在问题条件中添加补充关联元素，使之出现数学模型，产生数学关系。再如：分解因式4x4+1=4x4+1+4x2-4x2=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+1-2x)(2x2+1+2x)，也是通过添加元素构造数学模型。 3.100名乒乓球 选手采用淘汰制争夺单打冠军，共需进行多少场比赛？ 若直接计算要进行7轮比赛，算出每轮场数再相加：50+25+12+6+3+2+1=99。其实有更简单的方法，我们可以换个方向思考：最后的冠军剩下1人，即99人被淘汰，每场比赛淘汰1人，则很容易得到比赛场数为99场。 再有一例：一条毛毛虫由幼虫长为成虫每天长大一倍，30天能长到20厘米，请问第几天长到5厘米？这里我们也不需要从第一天开始计算，可以从最后一天开始倒推，29天长到10厘米，28天长到5厘米。 这是“退”法，即逆向思考，从结果往前追溯，问题就很清楚，很容易解决。 4.曾经考过的一道题：说明关于x的方程(x-m)2-(x-m)=0有两个不相等的实数根。大多数学生都很教条，他们不辞劳苦地先把方程展开合并成一般形式，再用根的判别式配方证明△>0，得出结论。这真是舍本逐末，其实我们由原方程很容易直接解出两根为x=m或x=m+1，显然m≠m+1，所以方程有两个不相等的实数根。若问题条件与结论有明确的联系，我们直接从条件出发，推进至结论即可。 5.一道趣题：杰克正看着安妮，安妮正看着乔治，杰克已婚，乔治未婚，请问有已婚人士看着未婚人士吗？ （A.有 B.没有 C.不能确定） 笼统地看，似乎感觉不能确定，这里我们做个简单的分类即可轻松解决：若安妮未婚，杰克看着安妮，有已婚人士看着未婚人士；若安妮已婚，安妮看着乔治，仍有已婚人士看着未婚人士，答案显然是A。 复杂问题可以分类成不同情况或分解为不同部分，然后各个击破逐步加以解决，“分”是简单化的重要方法。 再看一道几何题：Rt△ABC中，AC=BC=2，D为AC的中点，E为BC边上一个动点，将△DCE沿DE折叠，得△DC′E，M、N分别为AB、BC上两个动点，则△MNC′的周长最小值为 . 分三步思考：（1）化折为直，要求△MNC′三边之和最小，一般先“化折”再“化直”，通过沿动点所在直线翻折使三边变为连续折线PM、MN、NQ，再使三条折线共线即PQ为最小，如下图。 （2）动中寻定，图中有无确定的长度、角度和图形？由翻折易知∠PBQ=90°，BP=BQ，所以△PBQ的形状是确定的，它是等腰直角三角形，那么当其中任意一条边最小时各边即得最小，所以当PB最小时PQ亦最小。 （3）轨迹定位，动点C′的轨迹是圆弧，由翻折知PB=BC′，转化为求定点到定圆的最短路径，即为BC′D共线时，BC′最小为√5-1，由此得出结果最小周长即为PQ=√2PB=√2BC′=√2(√5-1)=√10-√2。 6.已知：图中有正方形ABCD、正方形DEFG、正方形BMFN，求证：四边形AEFM是平行四边形. 图中有三个正方形，可以产生丰富的边角相等关系，但是从原图看不出现成的几何模型，显然是缺少点什么。也许有经验的解题者会构造出下面的图形： 图中出现了两组“手拉手”形全等，然而却发现这对解题并没有直接的帮助。我们做个“减”法就会明白上图所构造出来的两个三角形与问题结论缺少紧密的关联，因为图中的G、C、N三点根本就是冗余的图形，把这三个点删掉对问题没有影响，如下图： 只保留三个等腰直角三角形并不影响结论的成立，现在图形简洁明了，我们再用“合”法把等腰直角三角形两两组合，就会发现图中已然包含两对“一转成双·手拉手”模型，易得△BDF∽△ADE∽△BAM，相似比为1：√2，利用边的关系证AE=FM，AM=EF，得四边形AEFM是平行四边形。（也可以利用角关系证边平行） 7.例1.已知：ΔABC中，∠C=90°，BD=AC，AE=CD，求证：∠BPD=45°. 结合条件观察图形，由两对相等线段BD=AC，AE=CD，且BD⊥AC，CD⊥AD，也就是说图中有有两组边分别相等，边的夹角都是90度，只不过有两条边是分散的不在一个三角形中，自然想到利用运动变换构造旋转90度的全等三角形，即把图中已有的ΔACD旋转90度移至相应的位置构造出另一个与之全等的三角形。 如下图，相当于把AE移至BF处组成全等三角形。 下图是把BD平移至EF处。
下图是把AE平移至DF处。
下图是把BD平移至AF处。
8.平面直角坐标系中，A（0，8），B（6，0），M是AB的中点，P是x轴上的一个动点，△BPM沿PM翻折得△CPM，当C点落在直线x=-1上时求C点的坐标.
怎样思考最清晰明了？C点是动点，我们以“静”制动，从整个运动过程看，C点的轨迹是圆弧，作出圆弧求与直线x=-1的交点即可，把运动的点转化成静止图形，这样处理简单直观不易遗漏。
9.大李对小王说：“我像你这么大时，你才1岁，你像我这么大时，我已经49岁了。”请问大李和小王今年多大？ 如图，我们把年龄关系用线段长度表示，三条线段即是两人年龄差，显然两人年龄差为16岁，现在年龄分别为33岁、17岁。
图形可以直观地表示数量关系，数形结合既可以加深对数学原理的理解，也可以有效地解决数学问题。 再举一例：某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务.如果每天生产服装20套，那么就比订货任务少100套；如果每天生产服装23套，那么就可超过订货任务20套.这批服装的订货任务是多少套？计划多少天完成？ 如下图，服装数量为面积，每天完成量为一边长，计划天数为一边长，由面积关系易得所求数量。
三、反思，让解题更优美：更简洁、更一般、更特殊 （未完待续） 学习 思考 实践 创作 本人所著修订版《中考数学思维方法与解题策略》剖析思维方法，训练思维能力，把中考数学解题方法与策略系统化组织，为师生打造一款完整的思维方法与解题策略的训练方案，其中包含四大基本原则、四种通用策略、七类常用方法、十四个具体模型，涵盖了中考数学所涉的知识、方法与题型，一书在手，中考无忧，最适合于二轮复习使用，需要的朋友点击下方“阅读原文”或扫下方二维码进入微店购买，不用微店的请加微信“tzg5236”联系。购书读者可加入思维教学交流QQ群：307595472共同探讨交流思维教学与思维训练相关问题。
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