从「如何用多项式函数拟合ln(x)」到「泰勒展开」

一、引言

让我们来看看下面几个多项式函数对  的拟合。

1、一号选手 

黑线为ln(x)

看起来一号选手仅在  拟合得比较好，其余地方便不尽如人意。

2、二号选手 

黑线为ln(x)

看起来二号选手在  都拟合得很好呢，其余地方也总体还行。

3、三号选手 

黑线为ln(x)

三号选手简直要逆天了，代入  ，得到  ，误差小于万分之一！

即使代入  这种远到逆天的值，误差也不超过1%的。

或许下一张图会让你感到更震撼一点：

红线为ln(x)，蓝线为多项式3（是不是几乎看不到红线了吧）

啊，这个放缩太紧了……这样下去ln(x)会坏掉……这样不可以（划掉）

二、正文

0、前言

相信读者看到这里时，一定会对这些奇怪的系数感到迷惑，不知道这些系数是怎么构造出来的。但是放心，当你看完本文后，你就会明白这背后的原理竟然是如此地简单，你完全可以仿照我的方法，构造出精度更高（次数更高）的放缩。

1、引子

如果了解对数平均不等式（ALG不等式）的同学，想必不会对一号选手  陌生。因为我们证明ALG不等式时就构造出了  这个不等式。

那么，问题来了：为什么不是  呢？这个函数在  附近也有很高的精度啊。

事实上，需求决定工作。在讨论这个问题前，我们应该先弄清楚——我们究竟想要什么样的函数？然后对着需求找条件，问题自然迎刃而解了。

2、我们想要什么函数？

①首先，我们想要这个函数不出现ln()、e这种超越数、不好计算的东西，尽可能地只有整数相除这种简单的有理数计算。例如ln(2)是比较难计算的，ln(e)=1虽然是有理数，但是e不是。综上考虑，只有ln(1)=0既满足ln(1)=0是有理数，又满足自变量1是有理数。所以，我们选择在x=1附近找拟合函数。

②我们希望这个函数是「多项式除以多项式」型。

这样的话，我们计算时总是做有理数的加减乘除问题，比较简单。

③我们希望这个函数精度尽可能地高。

对于一个「n次多项式除以m次多项式」型的函数，一般形式是：

考虑到ln(x)增长是很缓慢地，所以我们希望分子次数与分母次数相等，即满足  ，这样增长趋势就会与ln(x)相接近。

④我们希望这个函数在比较远处依然能维持精度。

在前面说的n=m这个前提下，想要更高的精度，我们就应该引入一个叫「泰勒展开」的东西了。具体这是什么东西，请读者继续看下文详解。

3、泰勒展开

对于一个函数，我们想要找到其的一个近似函数，我们一个很自然的想法就是取切线。如下图，在x=0处取e^x的切线，其紧邻处拟合程度良好

但是这还远远不够，因为距离稍微大一点后，这个函数的拟合程度就相当地差了。

我们试图延续取切线的思想，这就自然地引入了泰勒展开。

注意到切线对应的是  的斜率为0，即一阶导数为0，那么我们如果构造一个函数，让其二阶导数也为0，那么精度会不会提高呢？

对此，有个直观的理解——如果两个函数^[1]零阶导、一阶导、二阶导、……n阶导都相等，那么这两个函数至少在某个邻域内是十分近似的，而且随着n的增大，这个邻域会扩大（当然，不一定能无限扩大，有个叫收敛域的玩意）。就好比：如果你玩游戏，你的分段和某大佬一样，英雄胜率和他基本一样，英雄池和他基本一样，出装套路基本一样，操作意识基本一样，那么你和这个大佬的实力基本上是很相近的。

让我们试试：

设  ，其中a为待定常数，试求合适的a使得 

（因为取的是切线，所以  是显然地）

解：  ，故 

所以：  即为所求

让我们看看，如下图，确实精度有明显提高。

蓝线为1+x+x^2/2，显然精度提高了

虽然按照这个思路下去，我们可以求出任意项。而且可以预见的是：精度会随着项数的提升而提升。然而，一项一项地求总是一件很烦人的事情，我们试图归纳总结出一个通项。试试看：

(2.3.1)式是被人们称为「麦克劳林展开」的东西。如果要严格讨论这里的「≈」号的具体含义，我们会涉及到诸如「收敛域」、「余项」等繁琐的东西。因此，我们这里不去严格证明它，而是取从直观的角度说明它。

观察(2.3.1)式，代入x=0，含  的项都为0，发现左右两端是相等的。

而左右求一阶导后，左右都是  ，也是相等……

求n次导后，  求n次导为  （这也是分母凑  的原因），左右依然相等。

因此，我们可以认为(2.3.1)式是f(x)的一个近似展开式。

推广地，在  处展开，有：

其中(2.3.2)式被人们称为「泰勒展开」。它能够满足尽可能高精度地拟合函数的要求。

4、尝试构造

学会了泰勒展开后，我们很兴奋，事实上，容易证明(2.4.1)式是成立的：

因此，我们尝试对ln(x)进行泰勒展开——

我们发现效果非常不理想，这个函数非常地“飘”，这是因为泰勒展开  幂越来越高，函数就会越来越“不稳定”。事实上，可以证明这一泰勒展开式的收敛域只有  ，大于2后，函数就飘走了……

为了克服这一困难，想到之前需求②，我们使用形如(2.2.1)的「多项式除以多项式」函数，并且结合我们的需求③，我们要求它分子分母次数相同（这样就近似于常数，函数就不会“飘”），即满足下式子——

5、一种思路

形式的确找到了，但是我们这里有一串待定系数，这一点是十分烦人的。回想起前面泰勒展开的知识，我们只能将其展成一串次数越来越高的多项式，如何才能展开成这种形式呢？

我们想到一个方法（虽然不是最终方法）：

作一个分式线性映射： 

易见这一分式线性映射将 

就有 

将其用(2.4.1)式展开，就有

3阶展开效果如下图所示——

（上方红线为ln(x)，黄线为最终思路展开2阶  ，下方红线为本思路展开3阶  ）

上方红线为ln(x)，黄线为最终思路展开2阶，下方红线为本思路展开3阶。可以看出：本思路虽然简单，但精度略逊一筹

6、另一种更好的思路（最终思路）

事实上，上式采用分式线性映射换元是具有技巧性的，其实也是本文写到一半（都把最终结果图做出来了）突发奇想做出来的。虽然最终结果容易计算出一般地表达式，但是精度不足。我们希望找到一个最高精度的逼近方式，这也是开头引言用的那三个函数的构造方式。

我们知道，（常规方法）泰勒展开无法得到分母上有东西的情形，那么思路就很简单了——我同时乘以分母多项式的话，不就能够和泰勒展开式匹配上了吗？

试试看：

由

推出：

只要将(2.6.2)左式展开，匹配系数即可。

为了方便计算，可以不妨令  ，这是因为n次多项式有n个自由系数。

让我们拿n=1的情况练练手——

考虑 

自然有： 

易推知： 

因为n=1，这是在x=1的一阶泰勒展开。但是问题来了——

p是个未知数啊！

p是个未知数啊！

p是个未知数啊！

是的，p是一个未知数。那么我们该怎么办呢？其实很简单——

回归到一阶泰勒展开的几何意义，一阶泰勒展开相当于求切线。我们自然希望切线越直越好，也就是说，如果能取一个合适的p，使得其二阶导为0的话，这个切线就会很直，那么就最满足我们的需求。

回归到这个问题：本质上就是令  ，解出  。

将  回代，得到  。

根据公式(2.3.2)，我们得到了 

即：

相信你有些明白了，让我们试试n=2——

考虑 

自然有： 

易推知： 

因n=2，泰勒展开2阶，有两个未知数p、q，令3、4阶导为0，即：

容易解出：p=4，q=1

得： 

故： 

即：

对于任意正整数n——

这个思路的缺点就在于——虽然有着较高精度，但是n比较大时计算起来很复杂。下面的推导给出了一个通过计算机求系数的办法，不过手算起来比较难受。可以使用网上一些软件辅助求解会相对简单。总得来说意义不大，如果要比较高的精度，推荐使用上一个思路多展开几阶。

考虑：

 ，其中 

令  ，则为 

第一部分：

其中 

第二部分：

两者相乘，计算  项：

①若 

 系数为 

交换一下求和顺序： 

②若 

 系数为 

交换一下求和顺序： 

令  项到  项为0，即可得到各项系数。

总而言之，分母系数由n元方程组（不妨设  ）确定：

分子系数则是：

总之，这个计算量很大，如果不借助计算机的话，建议使用2.5的思路。

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