二项式定理知识梳理与题型归纳，这篇文章很全面，请收好！

二项式定理，其实是一个很好理解的小概念。

只是不少同学对其原理的认识和理解不足，且训练频率较小，导致在考试中遇到时反而措手不及。

我就多次见过模考中的三项展开式，有些孩子怎么也理解不了的情形。

但三项甚至更多项的展开，不正体现了二项式定理的精髓？

这篇推送，其实想写好长时间了。只是一直没有一个整段的时间，所以就一直拖到了现在。

但希望对孩子们有用。

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基本知识点梳理

一、定理内容

二、基本概念

①二项式展开式：

等式右边的多项式叫作(a+b)ⁿ的二项展开式

②二项式系数：

展开式中各项的系数中的

③项数：

展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.

④通项：

展开式的第r+1项，记作

三、几个提醒

①项数：

展开式共有n+1项.

②顺序：

注意正确选择a与b，其顺序不能更改，

即：(a+b)ⁿ和(b+a)ⁿ是不同的.

③指数：

a的指数从n到0, 降幂排列；

b的指数从0到n,升幂排列。

各项中a，b的指数之和始终为n.

④系数：

正确区分二项式系数与项的系数：

二项式系数指各项前面的组合数；

项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）。

⑤通项：

通项是指展开式的第r+1项.

四、常用结论

由此可得贝努力不等式。当x>-1时，有：

n≥1时，(1+x)ⁿ≥1+nx;

0≤n≤1时，(1+x)ⁿ≤1+nx.

（贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩）

五、几个性质

①二项式系数对称性：

展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。

②二项式系数最大值：

展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。即：

③二项式系数和：

二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：

奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：

（注：凡系数和问题均用赋值法处理）

④杨辉三角中的二项式系数：

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基本题型归纳

一、求二项展开式

二、求展开式的指定项

说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理.

说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整。

说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项。

三、求展开式中系数和

说明：系数和的问题，一般用赋值法，将式中的字母均赋值为1即可。

此种思路同样适用于底数为多项式的展开式。

说明：分奇偶项求系数和时，一般分别对变量赋值为1和-1，得方程组处理。

四、求系数最大（最小）项

说明：系数最大或最小问题，一般可先设出最值项的项数，再利用不等式的恒成立性，求得系数最大或最小项。

也可将二项式看成数列，利用数列单调性的思路确定其单调性后处理。

五、多项展开式

说明：对于底数为多项式的展开式问题，如果能将底数变形为二项式，则直接用二项式定理；如果底数不能变形，可以采用上述三种方式处理。

其中解法三利用了多项式的乘法原理，更侧重于对二项式定理原理的理解和认识，应引起重视。

六、整除性问题

七、近似计算

说明：在中学阶段，近似计算的处理，可以考虑二分法和二项式定理两种途径。

八、证明不等式

说明：用二项式定理证明不等式，主要是利用其放缩的特征。

凡含有n次幂的不等式证明，可适当考虑此种思路。

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