经典模型：最值系列之瓜豆原理

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．

本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路

01动点轨迹之“圆”

引例1

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图：

点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

引例2

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

  

【分析】动图先看结果：

 

Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

 

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

引例3

如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

【分析】动图先看结果：

 

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

模型总结

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

【条件】两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

【结论】

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．

“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

思考1

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：

考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．

思考2

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．

考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？

【分析】Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q点轨迹是个圆．

连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．

真题战场

2016余姚模拟

如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．

当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．

2016武汉中考

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：

取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．

当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题．

2018南通中考

如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．

考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．

直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．

一条隐藏的瓜豆

△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．

【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．

根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．

接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．

连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．

此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．

或者直接利用托勒密定理可得最大值．

02

动点轨迹之“直线”

引例1

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

【分析】先看动图结果：

 

当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N：

在运动过程中，因为AP=2AQ，所以AM=2QN，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

引例2

如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

【分析】动图先看结果：

 

当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2，连接即得Q点轨迹线段．

模型总结

【必要条件】

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

【结论】

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）

P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

真题战场

2017姑苏区二模

如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．

【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．

2013湖州中考

如图，已知点A是第一象限内横坐标为2倍根号3的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=根号3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为根号3:1，P点轨迹长ON为2倍根号6，故B点轨迹长为2倍根号2．

坐标系中的最值

如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．

取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．

根据∠ABP=60°可知：P1P2与y轴夹角为60°，作OP⊥P1P2，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=3/2．

2019宿迁中考

如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_______．

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹．

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹．

CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到，作CH⊥G1G2于点H，CH即为所求的最小值．

根据模型可知：G1G2与AB夹角为60°，故G1G2⊥EG1．

过点E作EF⊥CH于点F，则HF=G1E=1，CF=1/2CE=3/2，

所以CH=5/2，因此CG的最小值为5/2．

03

动点轨迹之“其他图形”

所谓“瓜豆原理”，就是根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．

2016乐山中考

如图，在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=k/x的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（    ）

A．2            B．4             C．6           D．8

【分析】依旧动图观察：

 

∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．

【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？

动点轨迹三角形

如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．

【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=根号2:1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为根号2:1，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．

【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．