“目标函数” “导函数” “原函数”——玩转函数导数题和单调性

引子：

导数题近年来基本上一直是高考数学的最后压轴题！甚至比圆锥曲线题更有难度，因为圆锥曲线的重点更偏向于代数式化简方面，在于圆锥曲线内“目标函数”转化成与“韦达定理”的关系，从而再次深入化简求职。而导数题求解函数单调性，然后通过函数单调性求解一些更深入的函数关系，比如最值问题等等，不过在这些解答过程都包含一个规律——通过原函数求解导函数，直接分析导函数性质，比如符号性（大于零，小于零），单调性（函数性质转化成符号性），或者通过导函数抽象出新的函数，对于此新的函数，因为是分析导函数性质的函数，是求取原函数性质的真正“目标”，故定义其为“目标函数”。从而从“目标函数”到“导函数”，再从“导函数”到“原函数”，实现函数性质的分析和解答，构成一个完美闭环。故此本文将通过“目标函数”+“导函数”+“原函数”三个层级以及求解，完美解答函数单调性题。原来函数单调性题也可以如此轻松。

游戏规则介绍：

小儿垂钓自学始，自得其乐方法来。

原函数：

题目给出的初等函数，或者初等函数复合成的复合函数。

初等函数：

初等函数包括幂函数，一次函数、二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数和三角函数（包括正弦函数，余弦函数，正切函数等）

初等函数

复合函数：

通过初等函数运用四则运算复合的函数或者通过“子函数”和“母函数”复合的复合函数。

复合函数类型：

设“F(x)”为复合函数，f(x)和g(x)是初等函数

1、F(x)=f(x)+g(x)

2、F(x)=f(x)-g(x)

3、F(x)=f(x)·g(x)

4、F(x)=f(x)/g(x)

5、F(x)=f[g(x)]

“5”式中：F(x)是复合函数，f(x)是母函数，g(x)是子函数，因为g(x)的值域相当于f(x)的定义域，或者说g(x)相当于f(x)肚子里的孩子，是g(x)变化影响f(x)的变化。

导函数：

原函数求导后的函数，用f’(x)表示。

复合导函数求法则：

1、F(x)=f(x)+g(x) F’(x)=f’(x)+g’(x)

2、F(x)=f(x)-g(x) F’(x)=f’(x)+g’(x)

3、F(x)=f(x)·g(x) F’(x)=f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x)

4、F(x)=f(x)/g(x) F’(x)=[f’(x)·g(x)- f(x)·g’(x)]/g2(x)

5、F(x)=f[g(x)] F’(x)=f’[g(x)]· g’(x)

初等函数导函数：

初等函数和其导数

导函数与切线方程：

导函数与切线

游戏开始：

第一步：理论分享与证明

导函数与单调性

第二步：高考真题分享

2019年高考全国一卷导数题

解：

2019全国一卷导数题第一问

m(x)-如图1

n(x)-如图1

v'(x)-如图3

g(x)=v‘’(x)-如图4

f'(x)=g(x)-如图5

2019年高考数学全国一卷导数题第二问

f(x)-如图6-1(定义域-1<x<π/2)

f(x)-如图6-2(定义域π/2<x<π)

f(x)-如图6-3(定义域x>-1)

2017年高考全国一卷导数题

解：

2017高考数学全国一卷导数题第一问

m(x)-如图7(a<)0

g(x)-如图8(a<0)

f'(x)-如图9(a<0)

f(x)-如图10(a<0)

m(x)-如图11

g(x)-如图12(a>0)

f'(x)-如图13(a>0)

f(x)-如图14(a>0)

下面请欣赏：m(x)的动态示意图

m(x)的动态示意图

下面请欣赏：g(x)的动态示意图

g(x)的动态示意图

下面请欣赏：f'(x)的动态示意图

f'(x)的动态示意图

下面请欣赏：f(x)的动态示意图

f(x)的动态示意图

2017年高考数学全国一卷导数题第二问

f(x)-如图15(a<0)

f(x)-如图16(a>1)

f(x)-如图17(0<a<1)

h'(x)-如图18

h(x)-如图19

第三步：小结

从以上的导数理论推导和高考真题【2019全国一卷】和【2017全国一卷】的运用可知，函数导数题是高考的重点与难点，计算量大，理解难度高，是压轴题和区分度题。从我们的分析过程可以看出，其实导数题也不是我们想象的那么复杂和高难度，它是有规律可循的。比如针对函数单调性，我们可以运用：“定义域”+“目标函数”+“导函数”+“原函数”+“函数图像”的模式，依次逐步剥丝抽茧，像庖丁解牛一样，摸着经络走，最后做到游刃有余。很明显，“定义域”+“目标函数”+“导函数”+“原函数”+“函数图像”的模式能很好的解答函数导数试题，方法“模块化”，能像拼图游戏一样往里填图，同时计算简捷方便，值得推广。

第四步：游戏结束！