【原】数学最值问题你都明白了吗？ #2020联考干货#

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今天，赵老师要分享的的复习干货是关于最值问题的总结文档，涵盖绝对值、代数式、等差数列、解析几何等多个知识点。配合真题练习，即学即练，掌握巩固两不误，快一起来解题！

1

 绝对值的最值问题 

 解题方法： 图像法、讨论法、三角不等式法

①形如：|x-a|+|x-b|有最小值。

中间平，两边翘

注：奇数项：最值发生在中间的临界点；偶数项：最值发生在两值范围间（包括临界点）。

②形如：|x-a|-|x-b|有最小值、最大值。

反Z型

 总结： 最值必发生在临界值

 真题再现：

例题1 (2003-01)：不等式|x-2|+|4-x|<S无解

(1) S≤2

(2) S>2

例题2（2007-10）：设y=|x-2|+|x+2|，则下列结论正确的是（ ）.

A. y 没有最小值;

B. 只有一个 x 使 y 取得最小值;

C. 有无穷多个 x 使 y 取得最大值;

D. 有无穷多个 x 使 y 取得最小值;

E. 以上结论均不正确.

2

代数式的最值问题

 解题方法： 一元二次函数最值法、均值不等式法、配方法（a±f(x)²）

注：一元二次配方法，如果有前提条件，注意前提条件下取得的范围

 真题再现：

例题3（2008-01）：f(x)有最小值 2（ ）.

例题4（2007-10）：一元二次函数x（1-x）的最大值为（ ）.

A. 0.05 

B. 0.10 

C. 0.15

D. 0.20 

E. 0.25 

例题5（2012-10）：设实数x ,y满足x+2y=3，则x²+y²+2y的最小值为（）

A.4 

B.5 

C.6 

D.√5-1

E.√5+1

例题6（2013-01）：已知 a，b 为实数。则|a|≤1，|b|≤1（）.

(1) |a+b|≤1

(2) |a-b|≤1

3

等差数列前 N 项和的最值问题

 解题思路：

①an（令 an=0 ,若 n 为整数，则 Sn=Sn-1 取得最值；若 n 为非整数，则 n 的整数部分时取得最值）

②Sn（一元二次函数配方，离对称轴最近的正整数 n 取得最值）

 真题再现：

例题7（2014-12）：已知{an}是公差大于零的等差数列，Sn是{an}的前 n 项和，则Sn≥S10，n=1,2,…

(1) a10=0

(2) a11a10<0

4

 解析几何最值问题

 解题思路：

①的最值 ，转化为定点到动点斜率的范围

②二次函数最值

③圆上点到直线的距离最值：d±r

④两圆圆心距离最值：

⑤ax+by的最值：设ax+by=c，，转化成动直线截距的最值

 总结： 与圆有关的最值问题，一般与切线、圆心、半径有关

 真题再现：

例题8（2012-10）：设 A,B 分别是圆周(x-3)²+(y-√3)²=3上使  取得最大值和最小值的点，O 为坐标原点，则∠AOB的大小为（）

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

例题9（2014-12）：设点A(0,2)和点B(1,0)，在线段 AB 上取一点M(x,y)(0<x<1)，则以x,y为两边长的矩形面积的最大值为（ ）

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

例题10（2009-10）：曲线x²-2x+y²=0，上的点到直线3x+4y-12=0的最短距离是（）

A. 

B. 

C. 1

D. 

E. √2

答案和解析请自行在真题解析中查看，多翻阅可以加深印象！

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