高中数学 | 怎么解决数列题？

一、用定义和公式解

1、在数列中，前n项和，求。

分析：先得到关于项的递推公式，再根据等比数列的定义得出数列的通项公式。为了求通项公式应先得到关于项的递推公式，由得，当n=1时，。

当时，，可得：。

∵

∴数列为等比数列

2、数列是等差数列，是数列的前n项和，已知，为的前n项和，求。

分析：直接用数列的性质做有困难，可以考虑用公式解题。运用等差数列的定义，通项公式与求和公式，这两个公式中共涉及五个量，知道其中的三个可以求另两个，用定义和公式解题是解决数列问题的基本方法。

解：设等差数列的公差为d，则

即

解得

∴数列是等比数列，其首项为，公差为。

3、已知数列为正项等比数列，它的前n项和为80，其中最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项和公比q。

分析：利用性质解决该题并不方便，可以用公式来解。在运用等比数列求和公式时要注意公式的应用条件即，同时这里运用了整体代换的技巧简化运算。

解：∵

∴

依题意有

解得

又∵q>0

∴q>1

∴前n项中最大，将代入式（1）得，

由得：

因此有

二、用性质解

1、已知数列是等比数列，，则_________。

分析：可以用定义也可以用性质完成，用性质考虑可以避开对公比的讨论。

解法一：∵

∴公比

解法二：∵数列是等比数列

∴为一等比数列，其首项为1，公比为2，为该数列第五项，易求出其结果为16。

2、数列是等差数列，是数列的前n项和，已知，求项数n。

分析一：设数列的公差为d，由已知可列方程组

由（1）（2）可得代入（3）

可求出

分析二：

，又如何求呢？，又如何求呢？

用公式来解，运算量很大，因而不可取；巧妙地运用性质，解法很简捷。

3、一个等差数列的前3项之和为34，最后3项之和为146，所有项之和为360，则这个数列共有________________项。

分析：

∴n=6

三、用函数思想研究数列问题

1、在等差数列中，,，问该数列的前多少项和最小？

解法一：设数列的公差为d，由题意得

即

解不等式组

解得

∴n=10或11时，取最小值

解法二：设数列的公差为d，由题意得

即

∴n=10或11

∴n=10或11时，取最小值。

解法三：∵是等差数列

∴

∴数列的图象是函数图象（开口向上的抛物线）上的一系列点

∵

∴抛物线的对称轴是x=10.5

∵

∴n=10或11

∴n=10或11时，取最小值。

解法一利用了等差数列单调性，所有负项的和最小；解法二中把看成n的二次函数，将问题转化成函数的最值问题；解法三利用等差数列的前n项和构成的数列的图象是抛物线上的一系列点，进而借助二次函数的图象来求最值。

2、数列中，已知，则对于任意正整数n都有（    ）

A. 

B. 与的大小关系和c有关

C. 

D. 与的大小关系和c无关

分析：∵

∴当时，；当c=1时，；

当时，

∴选B

 

3、已知，数列满足。

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，当n取何值时，取最大值，并求出最大值。

解：（1）由等比数列的定义可以证明，并得出

，过程略

（2）

当，时，

即

当n=7或n=8时，

即

当，时，

即

∴且这两项同时最大

数列是定义在正整数集或正整数集的有限子集上的函数，因而数列也有单调性、周期性、最值等性质，本题通过研究的符号来得出数列单调性，进而求出最大值。

4、已知数列的通项公式是，其中a、b均为正常数，那么与的大小关系是（    ）

A. 

B. 

C. 

D. 与的大小关系不确定

解法一：∵

解法二：

∴数列是递增的

解法三：

∴数列是递增的

解法一是通过作差来研究数列的单调性；解法二和解法三则是直接利用简单函数的单调性来得出数列的单调性的。