2011年高考分类汇编之数列、极限和数学归纳法（四）

2011年高考分类汇编之数列、极限和数学归纳法（四）

上海文

 

2.计算=      

23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列

（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；

（2）数列中有多少项不是数列中的项？请说明理由；

（3）求数列的前项和.

23、解：⑴  三项分别为。

⑵ 分别为

⑶ ，，，

∵ 

∴ 。

。

 

四川理

 

8．数列的首项为3，为等差数列且，若则，，则

（A）0              （B）3              （C）8              （D）11

答案：B

解析：为等差数列，由，及解得，故，即，故，，，…，，相加得，故，选B．

11．定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，则

（A）3              （B）             （C）2              （D）

答案：D

解析：∵，∴当时，，当时，，；当时，，，；当时，，，则，，选D．

20．（本小题共12分）

设d为非零实数，（）．

（Ⅰ）写出a₁，a_2,，a₃并判断{a_n}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；

（Ⅱ）设b_n=nda_n（），求数列{b_n}的前n项和S_n．

本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力，分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．

解：（Ⅰ）由已知可得，，．

当，时，∵，因此

∴

．

由此可见，当时，∵，故{a_n}是以为首项，为公比的等比数列；

当时，，（），{a_n}不是等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，从而，

                ①

当时，．

当时，①两边同乘以得

      ②

①，②式相减可得：

．

化简即得．综上，．

 

四川文

 

9．数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n+1 =3S_n（n ≥1），则a₆=

（A）3 ×  4⁴           （B）3 ×  4⁴+1     （C）4⁴             （D）4⁴+1

答案：A

解析：由a_n+1 =3S_n，得a_n =3S_n－1（n ≥ 2），相减得a_n+1－a_n =3(S_n－S_n－1)= 3a_n，则a_n+1=4a_n（n ≥ 2），a₁=1，a₂=3，则a₆= a₂·4⁴=3×4⁴，选A．

20．（本小题共12分）

已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．

（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；

（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列．

本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）由已知，，因此，，．

当、、成等差数列时，，可得．

化简得．解得．

（Ⅱ）若，则的每项，此时、、显然成等差数列．

若，由、、成等差数列可得，即．

整理得．因此，．

所以，、、也成等差数列．

 

天津理

 

6．已知是首项为的等比数列，是的前项和，且．则的前项和为（　　　）．

　　Ａ．或　　　　　　　　Ｂ．或

　　Ｃ．　　　　　　　　　　Ｄ．

【解】设数列的公比为，由可知．于是又，

于是，即，因为，则．

数列的首项为，公比为，则前项和．故选Ｃ．

22．（本小题满分分）在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为．

（Ⅰ）若，证明成等比数列；

（Ⅱ）若对任意，成等比数列，其公比为．

(ⅰ) 设,证明是等差数列;

(ⅱ) 若,证明.

【解】（Ⅰ）解法1．由题设可得，．

所以

　　　　　　．

因为，所以．

从而由成等差数列，其公差为得．

于是．

因此，，所以，

于是当时，对任意， 成等比数列．

解法2．用数学归纳法．

(1) 当时，因为成公差为的等差数列，及，则．

当时，因为成公差为的等差数列，及，则．

由，，所以成等比数列．

所以当时，结论成立；

(2) 假设对于结论成立，即

成公差为等差数列，成等比数列，

设，则，，

又由题设成公差为等差数列，

则，

因此，解得．

于是，．

．

再由题设成公差为等差数列，

及，

则．

因为，，，

所以，，

于是成等比数列．于是对结论成立，

由(1)，(2)，对对任意,结论成立．

（Ⅱ）(ⅰ)证法1．由成等差数列，成等比数列,

则 ,即．因为,可知,

从而，即，

所以是等差数列，且公差为．

证法2．由题设,,

,所以.

．

因为,可知,于是　．

所以是等差数列，且公差为．

(ⅱ)　 证法1．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得．

从而，，

因此，，

，．

(1) 当为偶数时，设．

若，则，满足；

若，则

．

所以，所以，．

(2) 当为奇数时，设．

．

所以，所以，．

由(1)，(2)可知，对任意，．

证法2．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得．从而．

所以，由，可得．

于是由（Ⅰ）知，．以下同证法１．

天津文

15．设是等比数列，公比，为的前项和．记，，设为数列的最大项，则　　　　．

【解】．

设，则，，，

．

，

因为函数在时，取得最小值，

所以在时取得最大值．

此时，解得．即为数列的最大项，则．

22．（本小题满分分）在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为．

（Ⅰ）证明成等比数列；

（Ⅱ）求数列 的通项公式；

（Ⅲ）记．证明．

【解】（Ⅰ）由题设可知，，，，， ，所以．因此成等比数列．

（Ⅱ）由题设可得，．

所以

=．因为，所以．

从而由成等差数列，其公差为得．

所以，数列 的通项公式为

（或．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，．

下面对分为奇数和偶数讨论．

(1) 当为偶数时，设．

若，则，满足；

若，则

．

所以，所以，．

(2) 当为奇数时，设．

．

所以，所以，．

由(1)，(2)可知，对任意，．

 

浙江理

 

19．（本小题满分14分）

    已知数列满足：且（）

（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：（）。

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）由题得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n ， 即

       故  即数列为等比数列，  ……3分

      ，      ……7分

（Ⅱ）由上知    ……………………………………8分

。

浙江文（17）若数列中的最大项是第项，则=_______________。4

（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对，试比较与的大小．

（19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分14分。

   （Ⅰ）解：设等差数列的公差为，由题意可知

       即，从而

       因为     故通项公式

   （Ⅱ）解：记

       所以

       从而，当时，；当

 

重庆理

 

（3）已知，则   D

    （A）      (B) 2          (C)  3         (D) 6

（11）在等差数列中，，则__________ 74

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

      设实数数列的前项和，满足

      （Ⅰ）若成等比数列，求和；

（Ⅱ）求证：对有

解：（Ⅰ）由题意，因为所以；

由；

（Ⅱ）易见，所以；

从而时有：

因为，且，所以；

要证，只要证，

即证此式显然成立，

所以时有。

最后证，若不然，，又，故

即，矛盾，所以（）。

重庆文(16)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)

设是公比为正数的等比数列，,.

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.

解：(Ⅰ)设等比数列的公比为，由,得，即

或（舍去），所以数列的通项公式为；

(Ⅱ)。