角度问题之倍角问题

中考压轴题中常见一类题目，条件或者问题中含有一个角是另一个角的两倍，这样的角度问题我们特归纳为倍角问题。

《渔家傲·秋思》

范仲淹

塞下秋来风景异，衡阳雁去无留意。

四面边声连角起，千嶂里，长烟落日孤城闭。

浊酒一杯家万里，燕然未勒归无计。

羌管悠悠霜满地，人不寐，将军白发征夫泪。

基本问题

如图，在RtΔABC中，AC=9，BC=8，AE=BF=5，问∠FAC+∠EBC=？并证明。

解题障碍：此题除了有一个90°外并没有提及其他角度，最后要求证角度，所以可以猜测最后结果为特殊角，但是证明却是一个难点。

动图赏析：

解题之道：整体思想；居高临下

解题之术：

1、构造等腰三角形，形成倍角。

2、高中三角函数倍角公式。

解题之本：

等腰三角形判定和性质，三角函数等相关知识。

思路描述：

如图，添加辅助线EF，可由RtΔEFC得到EF=5，然后形成两个等腰三角形ΔAEF和ΔBEF，这样利用导角，2倍的∠FAC+∠EBC等于90°，利用整体思想即可求出答案45°.

本题并不难，但是引出了一个很好的倍角问题的解决方式，那就是构造等腰三角形。

其次，此题还可以进一步推演，推出以下经典数学模型：（江苏于新华老师首创）

这就是“12345模型”,为了更好识记此模型，我们可以利用下图：

从上图还可以得到“123模型”。同理，利用这样一个方法，还可以得到很多角度公式，这里就不一一叙述了。

问题生长

问题：条件中含有倍角关系怎么办？

问题：问题中含有倍角关系怎么办？

问题：图中含有倍角关系呢？

特注：以上问题都有多种解法，不过主要分为两种：角分线或者构造等腰（8种）；基本思想还是把倍半角转化为等角来处理。

最后一小问除巧构等腰化半为倍外，后用了不常见的SSS证全等，构思很巧。画图不易观察到。

问题：由倍角关系推出边的倍数关系。

四边形ABCD中，AB⊥BC, E在BC上，ED=EC, AE∥CD，∠EDA=2∠ACB，求证：2BE=AD

此题巧用向外延长构造等腰化倍为半，同时倍长中线，最后还有一巧，等量代换导边，很厉害。

问题：倍角问题和圆综合。

如图，已知∠BDC=2∠CBD, ∠ACB=30°，∠ABD=60°，求证AB=CD。

此题要利用到内心，三点共圆，不过也存在构造等腰化半为倍。不用共圆法直接构等腰好像行不通。

问题：倍角问题和格点问题综合。

中考真题

（来源于：有一点数学公众号）

最近建了3个群，欢迎加群交流：

家长群（欢迎交流各种学习方法，教育方法，解决家庭中初中生的各类学习生活问题）

学生群（学生有不会的题目或者很好的题目可以发到群里，大家共同交流学习）

教师群（欢迎热爱分享热爱学习的老师们加群交流，大家共同学习，共同进步）

特注：以上群非诚勿扰。

加微信备注可进群：