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【例题】已知正方形ABCD，Q为对角线BD上任意一点，∠QAP=45°（或QA⊥QE） 求证：① △QAE(PAE )是等腰直角三角形 方法一：
因为△APQ∽△BPE，所以A、B、E、Q四点共圆， ∠AEQ=∠ABQ=45°， 同时可得A、D、F、P共圆，FP⊥AE，PECFQ五点共圆 方法二：
由对称可知：AQ=CQ，∠BAQ=∠BCQ，在四边形ABEQ中：∠ABE＋∠AQE=90°+90°=180° 又∠BAQ+∠BEQ=180°，所以∠QEC=∠BAQ=∠BCQ， 故QA=QC=QE 方法三： 作QM⊥BC于M，QG⊥AB于G ，易得BMQG为正方形， 由∠AQE=∠GQM=90°得∠AQG=∠EQM，又QG=QM， 所以△AQG≌△EQM，从而QA=QE， 同时可得：ME=MC 求证：③EB+DF=EF 依据SAS可得图中所示两个三角形全等，结论成立。 同时可得FA平分∠EFD，EA平分∠BEF 求证：④BE+BC=√2BQ 求证：⑤点A到EF的值为定值 方法一： 由AAS可得两个Rt三角形全等，所以AH=AD 方法二： 令AH=h,BE=x,DF=y，边长等于6 由面积法得： 由勾股定理得 即：36-xy=6(x+y) 求证：⑥ △EMN周长为定值 
方法一：将△ABP沿AP翻折，对应点连接点Q，构造RT三角形 方法二：将△ADQ绕点A顺时针旋转90度，点D对应点连接点P，构造直角三角形。
若设BE=x,DF=y，正方形边长为a
同时可得S△EFC=xy，FC·EC=2BE·DF 求证：⑨ △AEF面积被BD平分
简证：△APQ∽△AFE，所以两个三角形面积比等于相似比的平方，又相似比=AQ:AE=1：√2，所以面积比为1:2，所以BD平分△AEF面积 求证：⑩ AE·AF=BD·EF 方法一
方法二
同时可证EF=√2PQ 小练习： 1.S正方形ABCD=BQ·DP 2.过点O垂直于BD于O，则PO-QO=DQ-PB 声明：这是一个半角模型典型例题，此题中结论参考了网络以及四川谢科安老师关于正方形内套45°角的探索。 |
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