2020年中考数学创新型与新定义型压轴题解析

近年来，各地中考数学试题不断呈现出新颖、灵活的特征，特别是在压轴题中，更富有挑战性和创新理念。

本节例举两例，分析在解决此类问题过程中的思路与方法。

一、几何综合探究类阅读理解问题

【例题1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。

（1）概念理解：如图2，在四边形 ABCD 中，AB = AD , CB = CD , 问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC⊥BD。

试证明：AB2 + CD2 = AD2 + BC2；

（3）解决问题：如图3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE。

已知 AC = 4 , AB = 5 , 求 GE 的长。

【解析】

（1）四边形 ABCD 是垂美四边形。

理由如下：

∵ AB = AD ,

∴ 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，

∵ CB = CD ,

∴ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，

∴ 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线，

∴ AC⊥BD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；

（2）如图1，

∵ AC⊥BD，

∴ ∠AOD = ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 90°，

由勾股定理得：

AB2 + CD2 = AO2 + BO2 + DO2 + CO2 = AD2 + BC2，

（3）如图3，连接 CG、BE，

∵ ∠CAG = ∠BAE = 90°，

∴ ∠CAG + ∠BAC = ∠BAE + ∠BAC，即 ∠GAB = ∠CAE，

在 △GAB 和 △CAE 中，

AG = AC , ∠GAB = ∠CAE，AB = AE，

∴ △GAB ≌ △CAE（SAS），

∴ ∠ABG = ∠AEC，又 ∠AEC + ∠AME = 90°，

∴ ∠ABG + ∠AME = 90°，即 CE⊥BG，

∴ 四边形 CGEB 是垂美四边形，

由（2）得，CG2 + BE2 = CB2 + GE2，

∵ AC = 4 , AB = 5 ,

∴ BC = 3 , CG = 4√2 , BE = 5√2 ,

∴ GE2 = CG2 + BE2 - CB2 = 73 ,

∴ GE = √73 .

【归纳总结】

（1）根据线段垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质，勾股定理、结合（2）的结论计算。

本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键。

二、抛物线新定义创新型压轴题问题

【例题2】我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为 “共点”．

（1）判断抛物线 y＝x2 与 y＝﹣x2 是 “共点抛物线” 吗？如果是，直接写出 “共点”坐标；如果不是，说明理由；

（2）抛物线 y＝x2﹣2x 与 y＝x2﹣2mx﹣3 是 “共点抛物线”，且 “共点” 在 x 轴上，求抛物线 y＝x2﹣2mx﹣3 的函数关系式；

（3）抛物线 L1：y＝﹣x2+2x+1 的图象如图所示，L1 与 L2：y＝﹣2x2 + mx 是 “共点抛物线”；

① 求 m 的值；

② 点 P 是 x 轴负半轴上一点，设抛物线 L1、L2 的 “共点” 为 Q，作点 P 关于点 Q 的对称点 P′，以PP′ 为对角线作正方形 PMP′N，当点 M 或点 N 落在抛物线 L1 上时，直接写出点 P 的坐标．

【解析】解：

（1）是，（0，0），

∵ x2＝﹣x2，

∴ x＝0；

（2）令 y＝x2﹣2x＝0，

解得 x1＝0，x2＝2,

当 x＝0 时，﹣3 ≠ 0 ,

∴（0，0）不是共点 ,

当 x＝2 时，4﹣4m﹣3＝0 ,

解得 m＝1/4 ,

∴ y＝x2 - 1/2 x - 3 ;

（3）

① 若两个抛物线是 “共点抛物线” ，

则方程﹣x2+2x+1＝﹣2x2+mx 有两个相等的实数根，

即 x2+（2﹣m）x+1＝0 有两个相等的实数根，

∴ △＝（2﹣m）2﹣4＝0，

解得 m＝0 或 m＝4，

∴ m 的值为 0 或 4．

② P（﹣3，0）或 P（﹣5，0）或 P（﹣13，0），

设点 P（a，0），

当 m＝0 时，Q（﹣1，﹣2），

∴ P'（﹣2﹣a，﹣4），

∵ PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M，

∴ △APM≌△BMP'（AAS），

设 M（x，y），N（a，b），

∴ 可得 M（1，﹣3﹣a），N（﹣3，a﹣1），

分别代入 L1 解析式可得 ：a1＝﹣5，a2＝﹣13，

当 m＝4 时，Q（1，2），

∴ P'（2﹣a，4），

∵ PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M，

∴ △APM≌△BMP'（AAS），

设 M（p，q），N（x，y），

∴ 可得 M（﹣2，4﹣a），N（3，1+a），

分别代入 L1 解析式可得 ：a1＝﹣3，a2＝11（舍），

∴ P（﹣3，0）或 P（﹣5，0）或 P（﹣13，0）.