8.如图,抛物线 y=x2﹣4x + 3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),直线 y = 1/2 x + 1交 y 轴于 C,且过点 D(6,m),左右平移抛物线 y=x2﹣4x + 3,记平移后的点 A 对应点为 A',点 B 的对应点为 B'. (1)求线段 AB,CD 的长; (2)当抛物线平移到某个位置时,A'D + B'D 最小,试确定此时抛物线的解析式; (3)平移抛物线是否存在某个位置,使四边形周长最小?若存在,求出此时抛物线的解析式和四边形 A'B'DC 周长最小值;若不存在,请说明理由. 【解析】解: (1)令 x=0,则 y=3,令 y=0,则 x=1 或 3, ∵ A(1,0)、B(3,0), ∴ AB=2, 直线 y = 1/2 x + 1,则点 C(0,1)、D(6,4), ∴ CD=3√5; (2)如图 1,作 D 关于 x 轴对称点 E,使得 EG∥x 轴,且 EG=AB=A'B'=2, 图 1 连接 DG 交 x 轴于 B',连接 A'E,A'D, ∵ A'B'GE 是平行四边形, ∴ A'E=A'D=B'G, ∴ 当 D,B',G 三点共线时,A′D + B′D=B′D + B′G 最小, 此时 B'(7,0),A'(5,0), 则抛物线的解析式为: y=(x﹣5)(x﹣7)=x2﹣12x + 35; (3)如图 2,作 D 关于 x 轴对称点 E,使得 EF∥x 轴,且 EF=AB=A'B'=2, 图 2 连接 CF 交 x 轴于 A',连接 B 'E,B 'D, ∵ A'B'EF 是平行四边形, ∴ B'E=A'F=B'D, ∴ 当 C,A',F 三点共线时,A'C+B'D=A'C+A'F 最小, 此时四边形 A'B'DC 周长最小,F(4,﹣4), 则直线 CF 的表达式为:y=﹣5/4 x + 1, ∴ 点 A′、B′ 的坐标分别为(4/5,0)、(14/5,0), 则抛物线解析式为:y=x2﹣18/5 x + 56/25, 最小周长= CF + AB + CD = √41 + 2 + 3√5. 【分析】 (1)结合一次函数与二次函数的解析式先把 A、B、C、D 四点的坐标求出来。 图 3 线段 CD 的长度求法: ① 求出点 C、D 两点的坐标后,用两点之间的距离公式; ② 作辅助线,用勾股定理在直角三角形 CD'D 中,可求出 CD 的长。 (2)线段 A'D + B'D 最小,先分析这三个点的性质: A'B' = 2,D 是一个定点,A'、B' 是两个动点,一定两动点。 在线段的几何最值问题中(详见最短路径 12 个模型)想到 “化曲线为直线”,作定点 D 的对称点,通过平行四边形转化, A'D + B'D = A'E + B'D = B'G + B'D = DG。 (3)四边形 A'B'DC 周长最小值,先把周长表示出来 CA' + A'B' + DB' + CD : 由(1)可知 A'B' = AB = 2 , CD = 3√5 ,关键如何求 CA' + DB',结合(2)中的思路,通过平行四边形转化, CA' + DB' = CA' + EB' = CA' + FA' = CF。 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》