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证明数量关系之外就是证明位置关系了。 本文题目选自以下地区： 2019·贵阳、2019·孝感 2019·苏州、2019·河北 【中考真题】 一、垂直 1．（2019·河北）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB=4/3．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x． （1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系； 【答案】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P， ∴∠APC＝90°， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠PBC＝∠DAB ∴CP/BP=tan∠PBC＝tan∠DAB=4/3，设CP＝4k，BP＝3k，由CP²+BP²＝BC²， 得（4k）²+（3k）²＝15²，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3， ∴x＝BP＝3×3＝9， 故当x＝9时，圆心O落在AP上； ∵AP是⊙O的直径， ∴∠AEP＝90°， ∴PE⊥AD， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD ∴PE⊥BC 二、平行 2．（2019·贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． （1）求证：OP∥BC； （2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径． 【答案】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． ∴弧AP=弧PC ∴∠AOP＝∠COP， ∴∠AOP=1/2∠AOC， 又∵∠ABC=1/2∠AOC， ∴∠AOP＝∠ABC， ∴PO∥BC； 备注：本题有比较多的方式，圆周角或垂径定理等等。 3．（2019·孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG∥CA； 【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF， ∴∠1=1/2∠ADF， ∵∠ADF＝∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DG∥AC； 备注：角平分线与等腰 4．（2019·苏州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． （1）求证：DO∥AC； 【答案】解：（1）因为点D是弧BC的中点， 所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD， 而∠BOD＝2∠BAD， 所以∠CAB＝∠BOD， 所以DO∥AC； 备注：角平分线与等腰得平行。 |
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