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【题记】 政如农功，日夜思之。思其始而成其终。朝夕而行之，行无越思，如农之有畔。其过鲜矣。——左丘明《左传》 “项目学习”强调自主，但是在活动的过程中一定要将教师的主导与学生的自主探究有机结合起来，无论是方案的制定、活动过程的探究，还是活动结果的评价，甚至连探究的形式、方法、伙伴的选择，活动中出现的问题。教师都要在事先考虑的基础上予以充分的关注，并根据实际情况及时给予必要的引导、调控、指导。从这个意义上讲，“项目学习”给数学教师提出了更高的要求。 课程的综合化要求教师有广博精深的科学素养，有一种居高临下看待复杂问题的能力，有一种宽容理解的态度，有一种持久等待的耐心，有一种理解孩子的童心……日本教育家左藤学说得好：“在推进项目学习的教师中，我觉得有很多是具有适应此要求的良好素质的人，这种素质如果一言以蔽之的话，既是通用基于‘事实’进行‘探究’的素质。我甚至觉得，这种素质与其说是存在于那些学生时代就一直优秀的教师中，还不如说是存在那些学生时代不爱学习，而在大学阶段或进入社会后才体验到学习的乐趣，从而大开眼界、不断进步的教师中”（［日］左藤学著，李季湄译．静悄悄的革命［M］．长春出版社，2003：113．） 这种观点给我的重要启示是：一个教师只要怀着一颗“童心”，在教学实践中不断善于学习，善于探究，善于反思与调整，他（她）就一定能成为一个出色的“项目学习”的指导老师！学校的教师应该通过培训和自我学习提高下面几个方面的素质： 1．与时俱进地把握“项目学习”的内涵、特点和理念，努力变革传统教学观念。 当前“项目学习”，说法不一，名称各异，但并不影响我们会理解它和把握它，并在教学实践活动中去践行它。但我们一定弄清楚“项目学习”与“学科学习”的本质区别。“项目学习与学科学习的区别存于把‘知识’和‘经验’组织成单元的方法不同。项目学习是以现实的‘主题（课题）’为核心，把‘知识’和‘经验’组织成单元的学习；而学科学习是以学科的‘内容（题材）’为核心，把‘知识’和‘经验’组织成单元的学习。也就是说，项目学习和学科学习是两种把学习组织成单元的不同模式。”因此，两种学习模式并不矛盾，我们可以从最狭隘的、学科的“综合”走出去，走向更广泛的学科综合，如学生与地区的“综合”、教室与地区的“综合”、教师与学生的“综合”、教师与家长的“综合”。（［日］左藤学著，李季湄译．静悄悄的革命［M］．长春出版社，2003：104，110．） 综合性学习提倡与其他课程结合，开展跨领域学习，强调应突出学习的综合性，但如果搞形式主义，盲目综合，为"综合性"而"综合性学习"，抛开自己的学科特点搞综合，或者停留在表面的大拼盘、大杂烩；或者无限抬高综合性学习的作用，使综合性学习缺乏主题，都是错误的认识。其实开展综合性学习，要明确综合的基础是本学科，综合的出发点和归宿，也是为了实现本学科对学生成长的作用。就学习内容而言，虽然可能需要综合相关学科的相关内容，但要以本学科的学习内容为主，并且首先要将本学科内容进行综合融通。 2．提高“项目学习”教学的创新性设计能力。 项目学习强调学习过程的有序和节奏，强调在相对有限的时间完成学习任务，既照顾本学科的特点又要为学生创造更多的可能性，即在一定程度上进行超越线性递进学习内容，以类似网络的超链接方式，使学习内容综合为有多个连接纽结的整体网络。左藤学的论述同样给我们以较大的启示：“创造以学为中心的课程，从实践的角度来看，是一种挑战，因为它要求把课程的单元放在‘主题·探究·表现’的模式中加以设计，而在教室中则要实现‘活动的、合作的、反思的学习’”、“要搞好项目学习，对主题及内容的发展具有预见性是决定性的因素，但更重要的是教师要把设计好每一个学生的学习作为自己的责任。”（［日］左藤学著，李季湄译．静悄悄的革命［M］．长春出版社，2003：101，123．） 因此，我们要努力对各种教学要素进行深入的研究，不断学习新的教学方法、策略和教学组织形式，要十分重视“预设”工作。因为预先的设计越细致、越严谨，越是对教学过程有充分的把握，越可能游刃有余，做到“气定神闲”的开放，才能及时挖掘和提升学习中生成的问题，从而生发出项目学习中的“精彩”来。反之，如果只是那种把不同内容简单地拼凑在一起，不做细致而严谨设计的做法，甚至把教学的成效押在教学过程中学生自发生成的想法，都是简单化、当然法、理想化的做法，是会葬送项目学习的。我们现在的教学形式确实太单一了，需要有更多样化的、综合的活动形式，带领学生到户外进行少量的现场观察、调查，主题活动是学科综合性应该有的重要活动，也是我们改造学科教学的重要措施。但是，课堂教学依然是学生学习和成长的主要阵地，是最常态的、时间比例最大的、对教师的要求最高的一种教学形式。如果把综合性学习主要作为课堂外的专门活动，一是有限的教学时间不允许，更重要的，则可能人为挖掘一条阻隔综合性学习与常态课堂教学的沟痕，这将大大窄化综合性学习的视野、降低它的价值。在分科课程背景下，老师对几个貌似简单的问题所做的平实的提问和点拨，可能真正做到了综合，而形式地加入音乐、舞蹈、美术、手工、实验、表演，则可能只能五花八门的热闹和给定的外形，却背离了综合的本质。因此，结合学生的生活，对本学科进行融合贯通，就能将使学生准确地领会本学科的思想、方法以及本学科应有的客观精神。这样综合性学习就作为一种常态的课堂教学，常态的学习方式，达到综合性学习的初衷。 3．教师要修炼自己的学习能力、组织能力以及合作能力、交流能力。 项目学习是进行三个对话──“与主题对话”、“与地区人们或教室里的同伴对话”、“与自己对话”的实践学习（参阅［日］左藤学著，李季湄译．静悄悄的革命［M］．长春出版社，2003：134．）。要“对话”，必须有人来引导与组织，这时老师的学习能力、组织能力、合作能力与交流沟通能力就显得尤为重要了。如果利用、整合各种教学资源，如何学习、模仿其它教师的教学经验，如何提高自己的信息应用能力，以及组织学生对信息进行搜集、判断、整理、处理和发表等，这些教师学习能力与组织能力的重要表现。而如何与其他同事、家长、社区及社会各界人士进行良好沟通与合作，如何与学生进行沟通、评价、反馈等，这是教师合作能力及沟通交流能力的重要表现。 ［案例］一堂新颖有趣的数学活动课（选自缪建平．一堂新颖有趣的数学活动课［J］．中小学教材教学．北京：人民教育报刊社，2005.3．) 2004年3月，杭州举办大型数学公开教学活动，华应龙教师应邀上课，他执教的是《神奇的莫比乌斯圈》，很多拿到会议材料的老师（当然包括我）都感到诧异：这是一节什么课？莫比乌斯圈是什么？它又神奇在哪儿呢？带着这样的心情，我们一同观摩了这节课。以下是几个实录片断： 一、做纸圈 师：同学们喜欢看魔术吗？今天老师就给大家表演一个小魔术。（表演） 师：怎么样？今天我们也一起来玩一个魔术。请同学们拿出桌上的一张纸条，说说这张纸条有几个面？几条边？ 生：有两个面、四条边。 师：现在，我们能把它变成两个面，两条边吗？请在小组中讨论，并尝试操作一下。（小组活动后交流） 生：我们只要把这张纸条对接起来，用胶水粘好，就变成两个面，两条边了。（边说边比划，做成了如下图所示的样子） 师：请同学们摸一摸两条边和两个面……这里的两条边有什么特点？两个面是平面还是曲面呢？ 生：两条边都变成曲线了。 生：两个面都是曲面，一个在里面，一个在外面。 师：（又拿出一张同样的纸条）现在我这里有一张同样的纸条，我先扭一扭，旋转180°，再对接粘贴起来（教师的操作如下图所示）。请同学们想一想，这里的纸圈会是几条边、几个面呢？
（同学们思考片刻） 生：还是两条边，两个面。 生：我想，可能是两条边，一个面。 生：既然老师要我们猜想，说明可能和原来完全不一样。我想可能是一条边、一个面吧。 （这时下面听课的老师也禁不住撕下记录本上的一页纸，做成纸圈，比划着，议论着，场上场下议论纷纷。） 师：好，现在请同学们跟我做一个这样的纸圈，然后沿着它的曲面的中线位置用笔画一条线，请大家试试，你发现什么啦？ （同学们做成莫比乌斯圈，并沿着中线画线） 生：我发现这条线一直画下去，与起点汇合了，说明它只有一个面。 生：我还发现我把这个纸圈的边上做了一个记号，并从这个记号开始一直用手摸下去，绕了一圈又到了做记号的地方，说明这个纸圈只有一条边。 师：为什么这个纸圈会变成一条边、一个面呢？ 生：因为把纸条扭转180°后，两条边对接上了，正反两个面也连在一起了。 师：对!我们把原来没有扭转而对接起来的曲面叫做双侧面。而把这种扭转后对接的曲面叫做单侧面，这种单侧面的纸圈，叫做“莫比乌斯圈”，是由法国数学家莫比乌斯在1858年发现的。你可别小瞧这个纸圈，它的奇妙之处可不少哟。下面就一起来研究。 二、剪纸圈 师：现在，如果用剪刀沿莫比乌斯圈的中线剪开，猜一猜将变成什么样呢？ 生：我想它会变成两个纸圈吧。 生：可能会变得一张长纸条了。 生：我想也是两个纸圈，而且两个纸圈套在一起。 生：是一个纸圈。 师：同学们很积极地进行猜想，值得表扬。现在大家一起剪一剪，看看到底是什么样子？ （学生早已跃跃欲试了，迫不及待地开始剪起来。下面的听课老师也饶有兴趣地尝试着。）） 师：发现了什么？有什么感受？ 生：我猜对了！原来真是变成了一个更大的纸圈！ 生：不可思议，怎么会是这样的呢？！ …… 师：好玩吧，还有更奇妙的呢。大家想不想试一试？ 生：老师，快说吧，怎么玩呢？ 师：好，今天我们就来上一堂疯狂的数学课！现在同学们的桌子还有一个纸条，现在我们把它沿纵向三等分，并把中间的一格涂上不同的颜色。（如下图）然后像刚才一样，把它做成一个“莫比乌斯圈”。如果沿着它的其中一条等分线剪开，请你们猜一猜，要剪几次？结果会是怎样的呢？
（同学们又一次被激发，结果变成了大小两个纸圈，而且套在一起！意料之外，匪夷所思！！！同学们始终沉浸在猜想与探求的快乐中，并数学的神奇魔力深深吸引着，不知不觉一堂课就这样过去了。） ［评析与反思］数学课原来可以这样上！这是我听完课的第一感受。 这是一堂不同寻常的课！整堂课中，学生在“猜想―验证―探究”中一次又一次感受着数学的神奇魅力。学生在数学学习过程中，学生在智力上或美学上真正理解了数学，体验了数学，保持对数学的浓烈兴趣，不断增强学习探索的内驱力。整堂课中，学生的学习兴趣被激发了。 但在同时，“主题性项目学习”对教师提出了新的要求。 1．教师要想方设法去促使学生自己想学，就必须精心设计令学生惊奇、好奇的“项目学习”课堂。 这样的新课程、新教学、新课堂要求教师们广闻博览，用文化学的思想来观照数学教学，以心理学的思想来把握学生的学习心向，用“以人为本”的教育理念重视审视课堂，同时又要与新课程理念相吻合，这样才能设计出令学生喜欢、惊奇的数学活动课，让学生徜徉其中，收获多多。要围绕新课程标准精心选择和设计高质量的“挑战性”、“开放性”问题；要从学生年龄特点、知识背景和生活实际出发进行设计，同时要对这种探究性、开放题问题可能出现的解答方案进行研究，做到心中有数。 2．要努力引导、创设合作与交流的良好氛围，并有足够的耐心来对待学生在课堂上各种“生成”。 这不是一朝一夕就能完成的事，它要求教师持之以恒来抓这件事，要引导学生尊重、倾听别人的发言，要与别人合作学习交流、讨论争论等等就本课而言，许多想法已出乎老师设计之外。它要求教师在课堂上多关注的个人体验，允许学生以不的速度学习数学，切不可把某一种方法强加给学生作为必须使用的方法；要为学生的思考与探索留有余地，不要急于告诉学生答案，让学生有充分的时间和机会，从他们的角度去思考问题，最终解决问题，同时还要注意学生提出新的问题。只有这样，才能发挥最大的教学效益。 3．对于一些好的案例，我们要努力根据本校本班学生的实际，做到“拿来主义”，为我所用。 由于对此课比较感兴趣，禁不住它的诱惑，我就华老师的教学进行一些小的变动和补充，并进行了教学尝试。 （一）开始部分的变动 ①把那个长纸条的两面分别分成12个格子，正面从左到右依次写上：“从前有座山，山上有座庙，”。 ②保持纸条下沿不离开桌面，手持纸条上沿将它从上面翻下来，在它的背面依次写：“庙里有个老和尚，他在讲：”。如下图： 正面： 背面： ③把这张纸条扭转180°，然后首尾对接，粘成莫比乌斯圈。如下图： ④把纸圈套在右手的食指上，向左边捋一捋，念一念，就成了： “从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他在讲：从前有座山，山上有座庙……” 师：请告诉我,你发现了什么？ 生：我发现：顺着纸条上的字念下去，永远也念不完。 师：这说明什么？ 生：这说明原来纸条的正面和反面连接起来了，就成了一个面！ 师：对，以上所做的这个纸圈，是数学家名字命名的“莫比乌斯圈”。可别小看这个小小的纸带，虽然制作起来十分简单，却奇特得叫人不可思议。例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中纸带上所写字的路线爬行（不经过纸的边沿），这只蚂蚁就可以一起爬遍纸带的两个面，而在普遍的没有旋转180度而粘贴的纸带上是不可能做到的。现在却可以轻而易举地做到了。请同学们重新做一个“莫比乌斯圈”，拿起笔，用笔尖代表蚂蚁，先在纸圈上做一个记号，再沿着纸圈的中线一直画下去，画完后告诉老师，你发现了什么？ 生：（操作后）我发现蚂蚁兜了一圈，又回到了原来做记号的地方，也就是起点。 师：如果沿着这条中线剪下来，又会发现什么奇妙之处呢？请同学们先猜想一下，再剪一剪。 （二）中间部分的补充 中间部分我补充了一个探究性操作。 按下图一在纸上剪下两个十字形，纸带宽约3厘米，长可15厘米左右，再在十字上分别画上两条虚线，并在有阴影的部分涂上胶水。然后，把两个十字形分别粘成图二、图三形状。注意图三中有一个纸圈扭了180°。如果把它们沿虚线剪开，想想看会是 什么样子，然后再剪剪看。
（三）对结束部分的补充 华老师让学生说说“莫比乌斯圈”在日常生活中有哪些应用，同学们在课堂上说了不少，如有学生说可以利用它来做过山车，这样兜了一圈又会回到起点了。在此，我作了如下补充： 师：现在，这一成果已经在科技上得到了应用。例如，有一种电脑打印机，用来打印文稿的色带就是根据这一原理做成的，这种色带是经过180度旋转后进行对接，这样可以使色带在打印中两面都得到充分利用，从而成倍地延长其使用寿命，大大节省了耗材（用实物投影仪展示的内部结构，突出显示扭转对接的部分）。你看它的设计多么巧妙啊！ 有兴趣的同学可以自行猜想“莫比乌斯圈”的用途，再大胆设计，说不定还可以申请到专利呢。
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