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那真理的成熟虽然缓慢，但透过一片昏暗的迷雾却清晰可见，象一朵思想培育出来的火红的小花。——高尔基通向谬误的道路有千百条，通向真理的道路只有一条。——卢梭 
【探究目的】
本趣味探究配合“圆的周长”。通过本探究能够帮助学生巩固所学知识，激发学生数学学习的兴趣，引导学生动手操作和观察实践，让学生学会举一反三，提高学生形象思维能力、空间思维能力、解决实际问题的能力，培养学生思维的严密性、灵活性和开放性，增强学生数学学习的信心，拓展学生数学学习的视野。【基本探究】找两个一模一样的圆来进行趣味探究。比如找两个大小相同的瓶盖，或者两个塑料圆片，当然也可以用两个大小一样的硬币。我们要探究的问题是——把两个半径一样的圆的其中一个圆固定不动，另一个圆绕着这个圆的圆周滚动（注意不是滑动，是滚动），如下图所示，右边的圆不动，左边的圆沿着它的圆周滚动一周。有点像地球绕着太阳，既要公转，又要自转。
如果左边的圆滚动一周回到原处（公转1周），那么它自身转了几圈呢？
【指点迷津】也许有人会说，这不简单吗？绕着另一个圆转了一周，自转也是一周了！但事实并非如此！如下图所示，两个半径一模一样的圆，其中一个绕另一个公转了半圈的时候，实际上它已经自转了360度了。如果绕另一个圆公转一整周，那么它自转了720度，也就是2圈。
这种题有没有套路解法呢？有的，你可以先自行研究，如果研究不出来，就接着往下看……
【探究进阶】
下面的探究题来自美国1982年5月1日的高考数学卷，现在请同学们也一起来尝试探究这道题——
这张纯英文的试卷，可能看不懂，翻译一下就是：小圆的半径是大圆的三分之一；如果小圆绕着大圆滚回原位，那么它转了多少圈？
备选项有5个，这个不用翻译大家也能看懂。分别是周、3周、6周、周、9周。相信很多人会选 B，这道题的出题人也是这么考虑的。如果把大圆圆周拉直，那么它的长度应该是小圆圆周的3倍，所以小圆绕着它会滚3圈对吗？大家看，小圆绕了大圆四分之一的时候，已经转了一圈了—— 
绕大圆一整圈的话，实际上小圆转了4圈。所以 正确答案是4，并不在任何一个选项里。【资讯链接】1082年的美国高考试卷竟然出了上面这样的“乌龙事件”，也是醉了！根据出卷方美国大学理事会 （College Board）的事后声明，这场美国高考出卷方的答案是错的，而在当时参与这场考试的30万考生里，只有3个考生给出了正确答案。最后，明明是美国大学理事会做错了，除了那三人，所有人的分数都被扣回去了。
纽约时报1982年5月25日对这次高考数学题出错事件的报道（白框）
30万人里只有3人做对，其实是因为这个现象太不可思议了，因此它在数学上也得到了赐名—— 硬币悖论（coin paradox）。想进一步研究与学习，可以继续沿着“硬币悖论”追下去……如果两个圆半径相等，那么一圆公转轨迹像人体的器官，所以叫它“ 心脏线”——【指点迷津】现在，我们要深究的是：这样的题型有没有解题诀窍呢？有的！答案就是：以公转的圆的圆心画出的圆的半径和这个圆的半径之比。比如，以上面的高考题为例，就是绿色的这个圆的半径和小圆的半径之比就是3：1。因为是小圆绕着大圆转，小圆的半径是大圆的三分之一，小圆转的圈数就是：（3+1）÷1=4（圈）。回到本文开始的那道题，因为如果两个圆的半径大小是一样的，公转的圆心绕过的圆形轨迹的半径是它的2倍，所以自转的那个圆就转了：（1+1）÷1=2（圈）。
【再闯一关】
下面有两个圆片，A的半径是4厘米，B的半径是2厘米。如果圆A不动，圆B沿着圆A滚动一周。当圆B回到原处时，圆B自身转了多少圈？反过来想：如果圆B不动，圆A沿着圆B滚动一周。当圆A回到原处时，圆A自身转了多少圈？ 
【参考答案】
第一种情况：圆B自转的圈数是：（4+2）÷2=3（圈）；第二种情况：圆A自转的圈数是：（4+2）÷4=1.5（圈）。
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