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本文转载自微信公众号：奇略研究所，作者：不会功夫的潘达

日前，有网友曝光人教版数学教科书疑似出现低级错误。在人民教育出版社的数学八年级下册自读课本中提到，爱因斯坦用相对论中的质能方程论证勾股定理。

“证明发表后，震惊了国际数学界……后来德国著名的数学刊物‘Mathematische Annalen’聘请爱因斯坦去做了多年的主编。”

人教版课本相关的原文见下图。

笔者看完此证明以后，还在期待作者做出类似“当然，这只是一个玩笑”之类的解释。万万没想到课本的这一章竟到此为止！

也就是说，编者不仅将这一段所谓的“证明”当成正确的知识，还堂而皇之地写在教科书上，供初二年级的学生阅读。

这一段材料至少犯了如下几处错误：

1. 基本逻辑错误。爱因斯坦在狭义相对论提出的质能方程E=mc²,其中的c指真空中的光速。而勾股定理中的c指直角三角形斜边的长度。二者风马牛不相及。两个完全无关的概念，仅因为都用字母c指代，就被作者混淆为同一概念，谬以千里。

2. 事实错误。爱因斯坦的证明“震惊国际数学界”无疑是胡编乱造。爱因斯坦的确在1920年至1928年间担任Mathematische Annalen的编辑，但从未担任该期刊主编。而且，该期刊邀请爱因斯坦做编辑，绝非因为他用相对论证明勾股定理。

3. 方法论错误。勾股定理是数学定理，而爱因斯坦的质能方程是物理定律。数学定理可以用于推导物理定律，而物理定律不应被用来推导数学定理。

关于上述的第一条和第三条，我们有必要展开讲讲。不妨先来看看真实历史上，爱因斯坦是如何论证勾股定理的吧。知乎网友@张峻铭 找到了相关的英文文献，见下图。

这段文献里提到，爱因斯坦在11岁时，发觉数学家欧几里得对某些基本几何定理的论证过于繁琐，比如勾股定理的证明。因此，爱因斯坦想出用相似性证明勾股定理的简洁方法。

爱因斯坦的证明看上去和人教版教科书很像，但本质上完全不同。爱因斯坦的证明逻辑如下：

在大直角三角形C的斜边上作高，将大直角三角形分割为A、B两个小直角三角形。由于A、B两个小直角三角形的各角与大直角三角形C的各角相等，三个三角形相似。

根据量纲分析，相似的直角三角形面积与其斜边长度的平方成正比，且比例系数固定。我们可以将这个关系记作下述公式：

其中，(1)式表示三角形A的面积（Ea）等于斜边a的平方乘以比例系数m；(2)(3)式同理。由于三角形C被分割为A、B，那么C的面积即为A、B面积的总和。也就是Eа+Eь=Eс; 将(1)(2)(3)式代入，我们即有

约去非零的比例系数m，我们就得到了勾股定理：

11岁的小爱因斯坦给出的这段证明是正确的。其中唯一不严谨之处在于使用量纲分析论证“直角三角形面积与其斜边长度的平方成正比”，这里跳了一小步，但并不是错误。

重点是，此文献明确提到，(3)式Ec=mc²与质能方程E=mc²形式上非常相似，但当然只是一个巧合（is of course entirely fortuitous）。因此，爱因斯坦的证明与相对论没有半毛钱关系。

用相似三角形和量纲分析证明勾股定理，原本是颇能启发初中生思维的好方法，出现在课本上本可以成为亮点，却被不负责任编辑的错误解读给毁了！

如果负责这一段的编审有足够的科学素养，如此荒唐的错误本可以被避免。

用相对论（物理模型）论证勾股定理（数学定理），违背科学哲学的基本原则。质能方程是一种描述现实物质世界的模型，它大体上正确，而非绝对正确。

质能方程成立的前提是狭义相对论的两个基本假设：

1.真空中的光速恒为c；

2.所有惯性参考系内的物理定律相同。

关于这两条假设，科学家们只能说，到目前为止它们没有被推翻。但没人敢打包票说，这两条假设一定是正确的 。

因此，像其他物理学定律一样，质能方程、狭义相对论大体上正确，但不能保证绝对正确。

数学定理则不一样，它是绝对正确的。数学定理的前提是其背后的公理，比如勾股定理的前提是五条欧氏平面几何公理。公理是人为规定的，一组公理定义了一个抽象的数学世界。公理无所谓对错，它不像物理定律需要经受现实中实验或者观察的检验，因为它不属于现实世界。

只要公理无误，逻辑推理过程无误，那么数学定理就是绝对可靠的。

这样一来，用质能方程证明勾股定理，就是用一个大体正确的命题去证明理应绝对正确的命题，无疑是错误的方法论。同理，物理定律不应被用于论证数学定理。

知乎网友@xinggu 评论说：

这个错误的荒谬程度大约相当于：

· 在地理课本上写瑞士在南半球；

· 在生物课本上写仙人掌是哺乳动物;

· 在历史课本上写项羽是拿破仑他二舅;

注意这仅仅是就荒谬程度而言，就其危害性来说，比以上三个谬误大得多。因为以上三者是简单的事实谬误，比较容易纠正。但原问题中的这个“证明”的荒谬性体现在方法层面，很难纠正。

一眼就能看穿的谬误不可怕，可怕的是似是而非的错误。人教版课本“证明”的错误，初中生并不容易一眼看穿，反而会被迷惑，乃至对其深信不疑。

比数学课本上的错误更具迷惑性的，是语文课本上的科学性错误和事实错误。

知乎网友@海风 整理了一系列中小学语文课本上曾经出现过、有严重问题的文章。

《爱迪生救妈妈》：爱迪生用镜子反光给妈妈做阑尾手术（不符合光学物理、找不到该事迹的来源）。

《旅鼠之谜》：旅鼠跳海自杀以控制种群数量（旅鼠会游泳。科学界的共识是，没有证据显示旅鼠会主动集体自杀。）

《奇迹的名字叫父亲》：心脏中刀的父亲可以在孩子面前凭借爱的力量不动声色坚持三天。（这不是医学奇迹，这是现编的故事）

《长城砖》：宇航员在太空能看见万里长城。（杨利伟说太空中看不见长城。宇航员用肉眼不可能看到长城。）

《地震中的父与子》：1994年洛杉矶地震，父亲从废墟里挖出去上学的儿子（洛杉矶地震发生于凌晨4点31分，那个时间孩子不可能去上学）

《斑羚飞渡》：一只斑羚踩着另一只斑羚跳过悬崖。（不符合斑羚的习性）

这些含有错误事实的文章在语文老师的讲述下，变成了生动的事实，令一代代青少年深信不疑，乃至成为集体记忆的一部分。

初中正是青少年知识成长的关键阶段，而“用相对论证明勾股定理”这段材料里的基本逻辑、事实、方法论错误将会给他们带去灾难性的影响。

作为数学工作者，笔者不能坐视谬误堂而皇之成为权威。笔者在此呼吁人民教育出版社召回这批误人子弟的教科书，对学生负责，对国家的未来负责。