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如果你在上学的时候 老师告诉了你 数学公式背后 有这么多有趣的故事， 你会爱上数学吗？ 《无言的宇宙》 出版社：北京联合出版公司 领读者：杨羽 时间：2017年12月6日开始 领读者说  22 文和理总会给人一种相对、相反的感觉，但读完了这本书我开始认为数学和哲学应该捆绑销售——都是能把人弄得头晕眼花的东西，甚至离精神病只有一步之遥。 也许，想要成就些什么就必须偏执，必须坚持，必须舍弃余地……哎呀呀，有点沉重了。我们还是先让我们的固有认知好好翻腾一会儿。读了不少故事，是不是已经接受了作为数字的无穷大和无穷大可以比较大小的事实了？ 那么，现在就抛弃数字吧，因为它们不再被认为是数学的基础材料了，集合才是。进一步的，集合有大小，甚至无限集合也可以比较大小。 晕了？别怕，其实书里用来说明连续统假说的例子很好玩也并不难懂，没准读完你自己也能举个例子出来呢！ 打卡集锦 番茄牛腩 在本节中提到一个关于数轴上的砖块和胶水的问题，是砖块多还是胶水多，载我读初中的时候也遇到过类似的问题：数轴上的数，是有理数多还是无理数多。 当时很容易就想出来了，无理数远远多于有理数，因为每一个有理数加上无理数都是无理数。我们取一个无理数π，每一个有理数加上π都是无理数，拿这一块的无理数和有理数比，那就一样多了，更不要说其他无理数了。 可是有理数本身也是一个无穷大量，假设一个集合A是有理数+π和有理数+e的并集，那A应该是有理数集的两倍大。可是有理数集本身又是无限大，无限的两倍是什么？这不是和无限违背了吗？ 后来微积分里可以用等阶无穷、高阶无穷来比较无穷之间的关系，也就是说，虽然大家都是无穷的，但是变化的速度是不一样的。但是变化速度是人为给的一个概念，一个集合本身就在那里安安静静的呆着，哪来的变化速度呢？ 哥德尔用哲学来暂时使得试图思考无穷的数学家们得到解脱，但是这种方式并不能让所有数学家不再质疑思考，未来也许会有新的思想的冲击，来使得无穷集合不再让人头疼。 shanshan 关于直面问题。本节主要围绕集合展开讨论，本以为数学集合学的还可以的我，看这个应该不吃力，可看到一半我就蒙了。返回来从开头重新看，虽然没有明显的改观，但意外的被一句话戳醒。这是一句第一遍阅读时漏掉的句子，很隐蔽。 原话是这么说的：“诸如爱因斯坦等伟大科学家经常是那些愿意直面这些不方便事实的人们，而其他的科学家却避而不见。”原话针对的是集合论。 因为长久以来，大家基本都认为，构建数学大厦的是数字，其实，并不是显而易见容易理解的数字，大厦的基础，其实是更难被理解的——集合。 这句话细细想来，蛮深刻。日常生活中，大家都有选择性，包括选择性看待事物、选择性完成任务，喜欢的就做，不喜欢、觉得难的就不做。不是我们看不见，而是我们怕麻烦，不愿意费脑筋，想绕道走。 其实，困难中蕴藏了机遇，麻烦中包含了潜在的转机，直面问题，才能解决问题。发现集合的过程，不正是最好的启示吗? 小贝多芬 #有一点儿无限# 康托尔发明了基数以表示集合大小的绝对测度，而所有的实数的集合的基数性，从而证明了数轴上有理数只是小部分，更多的部分是由超越数和无理数。而从集合的幂集的基数是2的集合基数次幂，也可以得到不存在最大的无限基数这一概念。 康托尔进一步发现不存在一个包含所有集合的集合，与这一概念相似的，哥德尔证明了公理体系内一定包含正确但同时不可证的陈述，这使得公理本身的一致性无法证明。逻辑学在此时，更全面地介入到数学领域中。 嘻嘻 伟大体现在直面不方便的事实，而不是避而不见。康托尔直面无限这个光怪陆离的世界，发明了集合大小的绝对测度，基数。不过他在他所处的时代也倍受争议。 基数也叫势，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一 一对应，是两个对等的集合。 根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作(或|A|，或cardA)。 这样，当A 与B同属一个类时，A与B 就有相同的基数，即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。 如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集的基数也记作0。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。 但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。康托尔证明实数集R与可数集的基数不同，有更大的基数性。这一证明是现代数学最根本、最基础的突破之一。 连续统的概念出现。“在实数集里实数可以连续变动”，实数集即直线上点的集合为连续统，也就可以说实数集是个连续统。康托尔猜测在可数集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。它又被称为希尔伯特第一问题。 康托尔在无限集合上的工作存在很大的争议，引发了数学史上的一次危机。哥德尔用逻辑学证明连续统假说不能通过策-弗公理证明为伪，科恩用“力迫法”证明连续统假说不能通过策-弗公理证明为真。 于是我们知道连续统假说独立于集合论的其他公理。于是我们体会出来跨界很重要。 编辑：灵厄 |
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