 “运算律” 课程难度的定量分析比较 江苏省盐城市登瀛小学 陈金平 HELLO,SUMMER  1 SUMMER 向你介绍我是谁    大家好！我是陈金平，来自江苏省盐城市登瀛小学，是朱乐平名师工作站“一课研究”团队第六组成员。很高兴能在“一课研究”微信平台上与您相遇。 2 SUMMER 本期内容有哪些
 SUMMERTIME  3 SUMMER 轻轻松松听听书 以上内容摘自《教科书研究方法与质量保障研究》（孔凡哲 张恰等著，东北师范大学出版社，2015）该书的第二章教科书研究的常用方法。请大家继续进入下一环节，坚持阅读8分钟。  SUMMERTIME 4 SUMMER 坚持阅读8分钟 “运算律”一直是我国义务教育阶段小学数学的重要内容，是整数加法和乘法计算方法的推理依据，是继续教学某些数学知识的重要基础。“运算律”也是高度概括的运算知识，是人们对大量的计算实践经验所作的理论概括。 基础教育课程改革不仅变革了义务教育阶段教学内容，教科书编制体制也由原来的“一纲一本”过渡到现在的“一标多本”。由于不同版本教科书的编写者对《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《课程标准》）理解有所不同，各版本教科书的“运算律”课程难度会出现差异。笔者尝试借助已建立的课程难度定量模型，以《课程标准》为参照系，选择由人民教育出版社出版的义务教育课程标准教科书（以下简称人教版），北京师范大学出版社出版的义务教育课程标准教科书（以下简称北师大版），浙江教育出版社出版的义务教育课程标准教科书（以下简称浙教版）和江苏教育出版社出版的义务教育课程标准教科书（以下简称苏教版）作为比较对象，对“运算律”的课程难度进行定量比较分析，以反映各版本教科书之间的差异，为教师教学提供参考。 SUMMERTIME 一、课程难度模型注释。 据孔凡哲等人的研究，影响课程难度的基本要素至少有三个：课程深度、课程广度和课程时间。其中，课程深度泛指课程内容所需要的思维的深度，这是一个非常难以量化的要素，涉及到概念和数学原理的抽象程度以及概念之间的关联程度（徐利治、郑毓信先生称之为“数学抽象度”），还涉及到课程内容的推理与运算步骤；课程广度是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度，可以用我们通常所说的“知识点”的多少进行量化；课程时间是指课程内容的完成所需要的时间，可以用我们通常所说的“课时”多少进行量化。 如果用N来表示课程难度，用S表示课程深度，用G表示课程广度，用T表示课程时间，综上所述，可以建立下面的函数关系式（1）： 需要强调的是，在许多情况下，人们往往混淆了课程难度与课程深度这两个不同的概念，认为课程越深则课程就越难。因此，我们必须做这样的假定： 假定：我们所研究的课程内容，只要有足够的时间，绝大多数学生都是能够理解的。这就意味着，课程难度与课程深度成正比，与课程时间成反比。同样，课程难度与课程广度成正比，与课程时间成反比。这样，单位时间的课程深度和单位时间的课程广度是刻画课程难度很重要的量，我们分别称之为“可比深度”和“可比广度”。显然，课程的“可比深度”和“可比广度”都大，则这门课程就难。这启发我们用“可比深度”和“可比广度”的加权平均来刻画课程难度，则（1）式为（2）式: 其中，α满足0＜α＜1 被称为加权系数，反映了课程对于“可比深度”或者“可比广度”的侧重程度。为了方便起见, 我们称由（2）式定义的 N 为课程难度系数。 N——课程难度， S——课程深度， G——课程广度， T——课程时间， S/T ——可比深度，G/T——可比广度。 α——加权系数，它反映了课程对于可比深度与可比广度的侧重程度，本文α＝0.5，其含义表示可比深度与可比广度的侧重各占一半。 对于同一门课程(或者相应教材)的两个不同版本A和B , 分别用N（A）和N（B）表示其课程难度系数，则N（A）＞N（B）说明A 比B 更难, 难度系数的差越大, 则说明难度的差别越大。 SUMMERTIME 二、课程难度综合比较。 依据课程难度模型，对不同版本教材中“运算律”课程难度的定量分析比较时，课程时间是指完成课程内容所需要的时间，用各版本教材中建议“课时”的多少进行量化。由于《课程标准》未规定课时，在统计时取四个版本的平均值。课程广度是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度，用各版本教材中“知识点”的多少进行量化。课程深度通过相应课程目标的不同要求程度的加权平均值来对其加以刻画( 即知识技能目标与过程性目标的加权平均)。一般地，对于同一个知识点，要求越高，其所需要的思维就越深。在《课程标准》下，刻画知识技能目标的动词是“了解、理解、掌握、灵活运用”，刻画过程性目标的动词是“经历、体验、探索”，基于对课程深度量化的需要，需要对各个水平进行赋值，以区分不同的课程深度值（见表1）。如《课程标准》中指出: 探索并了解等腰梯形的有关性质，这里规定等腰梯形的性质为1个知识点，其深度为（3＋1）÷2＝2，即取知识技能目标和过程性目标的加权平均。 根据上述规定，笔者依次计算了人教版、北师大版、浙教版和苏教版数学教科书和数学课程标准中“运算律”的课程难度。 下面，我们进行逐项分析，然后进行统一比较。 关于“运算律”的课程时间。人教版在四年级下册第三单元《运算律》中安排了7课时，四年级下册第六单元《小数的加法和减法》中安排了1课时，五年级上册第一单元《小数乘法》中安排了1课时，五年级下册第六单元《分数的加法和减法》中安排了1课时，六年级上册第一单元《分数乘法》中安排了1课时，六年级下册第六单元《整理和复习》中安排了1课时，共计12课时，其课程时间为T1＝12。 北师大版在四年级上册第四单元《运算律》中安排了5课时，四年级下册第三单元《小数乘法》中安排了1课时，五年级下册第一单元《分数加减法》中安排了1课时，六年级上册第二单元《分数的混合运算》中安排了1课时，六年级下册《总复习》中安排了1课时，共计9课时，其课程时间为T2＝9。 浙教版在三年级上册第一单元《花果山上学数学》中安排了4课时，三年级下册第二单元《篮球场上的数学问题》中安排了2课时，五年级上册第一单元《小数的意义与加减法》中安排了1课时，五年级下册第二单元《分数四则运算》中安排了1课时，六年级下册第五单元《整理与复习》中安排了2课时，共计10课时，其课程时间为T3＝10。 苏教版在四年级下册第六单元《运算律》中安排了11课时，五年级上册第五单元《小数乘法和除法》中安排了2课时，六年级上册第五单元《分数四则混合运算》中安排了2课时，六年级下册第六单元《总复习》中安排了2课时，共计15课时，其课程时间为T4＝15。 从而确定《课程标准》中“运算律”的课程时间为T5＝（12＋9＋10＋15）÷4＝11.5。 关于“运算律”的课程广度。人教版相应课程内容的“知识点”为：加法交换律，加法结合律，加法运算定律的应用，连减的简便运算，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律，解决问题策略多样化，整数加法运算定律推广到小数，整数乘法运算定律推广到小数，整数加法运算定律推广到分数，整数乘法运算定律推广到分数。因而，其课程广度可取为G1＝12。 北师大教版相应课程内容的“知识点”为：加法交换律和乘法交换律，加法结合律及其应用，乘法结合律及其应用，乘法分配律及其应用，运用运算定律进行简便计算，整数运算定律推广到小数，整数加法运算定律推广到分数，整数乘法运算定律推广到分数。因而，其课程广度可取为G2＝8。 浙教版相应课程内容的“知识点”为：加法、乘法的交换律，加法、乘法的结合律、简便计算，乘法分配律，整数的运算律对小数同样适用，整数的运算律对分数同样适用。因而，其课程广度可取为G3＝6。 苏教版相应课程内容的“知识点”为：加法交换律，加法结合律，加法运算定律的应用，运用减法的性质进行一些简便运算，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律，乘法运算定律的运用，运用除法的性质进行一些简便运算，相遇问题，整数的运算律对小数同样适用，整数的运算律对分数同样适用。因而，其课程广度可取为G4＝12。 《课程标准》相应课程内容的“知识点”为：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配率，运用运算律进行一些简便计算。因而，其课程广度可取为G5＝6。 关于“运算律”的课程深度。人教版中的“运算律”相应课程内容的“知识点”对应的课程深度值分别为：加法交换律 2，加法结合律 2，加法运算定律的应用 4，连减的简便运算 4，乘法交换律 2，乘法结合律 2，乘法分配律 2，解决问题策略多样化 4，整数加法运算定律推广到小数 4，整数乘法运算定律推广到小数 4，整数加法运算定律推广到分数 4，整数乘法运算定律推广到分数 4。由此可见，人教版相应课程内容合计12个知识点，取课程深度系数为S1≈2.33。 北师大版中的“运算律”相应课程内容的“知识点”对应的课程深度值分别为：加法交换律和乘法交换律 2，加法结合律及其应用 4，乘法结合律及其应用 3，乘法分配律及其应用 3，运用运算定律进行简便计算 4，整数运算定律推广到小数 4，整数加法运算定律推广到分数 4，整数乘法运算定律推广到分数 4。由此可见，苏教版相应课程内容合计8个知识点，取课程深度系数为S2＝3。 浙教版中的“运算律”相应课程内容的“知识点”对应的课程深度值分别为：加法、乘法的交换律 2，加法、乘法的结合律 2，简便计算 4，乘法分配律 3，整数的运算律对小数同样适用 4，整数的运算律对分数同样适用 4。由此可见，苏教版相应课程内容合计6个知识点，取课程深度系数为S3≈3.17。 苏教版中的“运算律”相应课程内容的“知识点”对应的课程深度值分别为：加法交换律 2，加法结合律 2，运用加法交换律和结合律进行一些简便计算 4，运用减法的性质进行简便计算 4，乘法交换律 2，乘法结合律 2，乘法分配律 2，运用乘法交换、结合律和分配率进行一些简便计算 4，运用除法的性质进行一些简便计算 4，相遇问题 4，整数的运算律对小数同样适用 4，整数的运算律对分数同样适用 4。由此可见，苏教版相应课程内容合计12个知识点，取课程深度系数为S4≈3.17。 《课程标准》中的“运算律”相应课程内容的“知识点”对应的课程深度值分别为：加法交换律 2，加法结合律 2，乘法交换律 2，乘法结合律 2，乘法对加法的分配率 2，运用运算律进行一些简便计算 4。由此可见，《课程标准》相应课程内容合计6个知识点，取课程深度系数为S5≈2.33。 关于“运算律”的课程难度。根据下面的课程难度模型进行计算。（取α的值为0.5） 为了清晰、直观地表示四个版本教材和《课程标准》相应各项内容的有关定量数据指标，笔者采用表格的形式将其呈现出来（见表2）。 SUMMERTIME 通过对人教版、北师大版、浙教版和苏教版四个版本教科书“运算律”课程内容在课程广度、课程深度和课程难度三个维度与《课程标准》进行的一致性分析，笔者得出以下结论： 1.在人教版、北师大版、浙教版和苏教版四个版本的教材中，“运算律”的课程时间各不相同，分别为12课时、9课时、10课时和15课时，取平均值为11.5课时，即为《课程标准》的课时。人教版和苏教版的课程时间相对比较多的原因是，人教版和苏教版教材分别在“运算律”单元安排了连减的简便运算，解决问题策略多样化，相遇问题等内容的课程时间，重视应用“运算律”进行简便计算和解决实际问题。 2.从具体知识点来看，四个版本教材中，北师大版和浙教版与《课程标准》的知识点更吻合，人教版和苏教版的知识点更细碎一些。人教版、北师大版和苏教版教材都是把“运算律”的知识安排在四年级集中教学，然后再在小数运算和分数运算教学中应用整数“运算律”，只有浙教版教材是把“运算律”知识安排在三年级集中教学。 3.四个版本教材中“运算律”的课程时间和课程广度是存在一定的差异的，但是这个差异却没有影响“运算律”的课程深度。人教版、浙教版和苏教版的课程深度均为S≈3.17，北师大版课程深度S＝3。不过，四个版本的课程深度都明显高于《课程标准》的课程深度，这从一个侧面说明，数学教材都是基于《课程标准》的，这是底线。 4.经过量化的课程难度呈现了四个不同版本教材存在的难度差异，以及四个不同版本教材与《课程标准》的难度差异的大小。义务教育阶段的课程时间是固定的，某一门课程的授课时间也往往是固定的。无论是“窄而深”的课程设计模式还是“广而浅”的课程设计模式，都会影响课程难度。因此，一个“好”的课程设计理念应当是：在控制课程难度的前提下，优化课程深度与课程广度。让学生学得好，学得扎实，确保学生拥有自主学习的时间和空间，促使学生获得全面、健康、和谐和可持续的发展，即“有所为、有所不为”。 本文是笔者在学习课程难度模型后的一次初步尝试，课程难度的量化结果，既会受到课程时间和课程广度统计结果的影响，也会受到课程深度量化的准确性的影响。同时，统计结果对教师教学的启示尚需要进一步思考与探讨。 SUMMERTIME 5 SUMMER 想一想：古典趣题 今有女子不善织，日减工迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？ SUMMERTIME 你若盛开 蝴蝶自来 审核人： 王思颖 高珺 |
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