巧解史上最难高考数学压轴题之一2008江西卷

（更正版）

终于完成了，不是一般的难，这应该是有史以来最难之一了，排在前五名没问题！相信当年无一考生能拿满分，不过也公平，因为大家都得不了几分(๑ó﹏ò๑)。不想多说了，收笔:

此题难在第二问，先看看它长啥样:

上图，a=1.73的时候，它有3个极值点噢！

上图A点是其中一个极值点，它是根号8/a，怎么来的，等会就知道。

做完这题用了十几张纸，目的:分享一种能让大家明白的解法。当然如果你有更好的解法，欢迎指正。

按常规这种题应使用求导的方法解决，问题是令导数等于零，出来的方程，你会解吗:

如果你能求出它的三个，甚至可能有4个解，那也不必大费周折了。我猜到一个，刚才说的根号8/a，剩下的猜不出，更不会求，那只能“水到山前自有路”了！

解题的方法: 通过寻常和不寻常的放缩方式（不要“过分”），将a和x从正数范围缩小到某个小范围:小于等于 32/49，这不是一般的难，如果你没做过类似的不等式放缩，目的是减少讨论范围；利用导数寻找极值点、零点，以及它们的范围；数型结合，利用函数图像解决问题；一元三次方程根与系数关系；基本不等式的应用；函数值的比较，导数值的比较，x与a的比较；等价条件的确认；做到最后本来想放弃了，最后通过导数值比较，得到极值点x2与a的大小关系，再证: 当a趋于零时，得到f（x2）众关于a的极大值中的最大值！

首先通过这些不常用的不等式技巧，将题目的讨论范围缩小至小于32/49，减少工作量。

这里很容易“放过度”，放不准的。比如③式的证明，放缩后证:

上式小于2，有人证到当x及a>32/49时成立，就说证完了，其实是不够的，如果把2移到不等号左边，那等价于证上图函数减2以后要小于零，我们一起来看a≤32/49会是什么情况:

看到没，上图放大后发现，相关函数已跑到X轴上方去了！所以不行，不完整！得继续:

这里涉及到解一元三次方程，我解不出来，只能通过根与系数关系，比较函数值，导数值大小，单调性等方式来探清楚每个极值点的大概位置，继续:

来到这，以为解决了，结果又浇了一盆冷水，X2是多少？根本无法具体用a表示出来，怎办？f（X2）与2的大小也无法比较。看似绝路，却又逢生:比较a与X2的大小，怎比较？导数值与函数值:

这是我之前完成的比较，不够用的，还需继续缩小范围，你来模仿试试比较a与x2:

做到这里，又没思路了，x2的大概范围都出来了，最后想到先考虑特殊情况，因为这时候无法放缩了，操作空间有限，至少我难住了。

最后，只证出了a趋于零时，f（X）小于2，大于零怎办？换元，建立关于a的函数，证其单调递减！

明白吗？

真不是一般的难题！

如果你能解出此方程，就不用像我这么啰嗦的解答了，当然我的解答可以再简化，最后一起来欣赏一下导函数g（X），真美:

山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村

（说明:以上证明请不要抄袭去所谓发表论文，谢谢）