(关于泰勒公式小石头这里有两钟不同的解释与大家分享!) 我们知道 √2 作为第一个被发现的无理数, 是不能用 有理分数精确表示的,但是我们可以用 有理分数 来无限逼近: 这就是,所谓的无限(不循环)小数: 这种无限逼近的思想就是后来鼎鼎大名的极限,其在数学中由来已久,比如:用割圆术求π值,而且生活中也经常被大家使用,例如:
对于给定的函数 f(x) ,我们也可以用一个函数的序列 f₀(x), f₁(x), f₂(x), ... 来无限的逼近它,即, f(x) = f₀(x) + f₁(x) + f₂(x) + ⋯ 接下来,我们需要确定 这个序列! 首先,观察 √2 无限逼近形式 (1),我们可这样理解: 从 原点 0 出发 ,沿着坐标轴方向, 先用 步距是 1/10⁰ = 1 的步伐 走 1 步; 再用 步距是 1/10¹ = 0.1 的步伐 走 4 步; 再用 步距是 1/10² = 0.01 的步伐 走 1 步; .... 再用 步距是 1/10ⁿ 的步伐 走 a_n 步; .... 可见,这里的关键是 越来越小的 步距序列: 1/10⁰ > 1/10¹ > 1/10² > ⋯ > 1/10ⁿ > ⋯ 所以,我们要可以逼近 f(x) 就是首先要找到 一个 越来越小的 函数序列。 我们先降低要求,不对 整个 f(x) 逼近,只逼近 x = 0 附近的 f(x) 部分,这时我们发现,幂函数 序列: x⁰ , x¹, x² , x³, ..., xⁿ, ... 在 x = 0 附近 (-1, 1) 是满足 (绝对值)越来越小的 要求的。 于是,仿照 √2 ,令, 则有, 这称为幂级数,最后,要做的事情就是确定幂级数的系数了。 首先,将 x = 0 带入 式(2),立即得到,a₀ = f(0) = f(0)/0!; 然后,我们对 式(2) 两边求导,有: 再将 x = 0 带入 式(2.1),得到,a₁ = f'(0) = f'(0)/1!; 然后,我们对 式(2.1) 两边求导,有: 再将 x = 0 带入 式(2.2),得到,a₁ = f''(0)/2 = f''(0)/2!; 然后,我们对 式(2.2) 两边求导,有: 再将 x = 0 带入 式(2.3),得到,a₂ = f'''(0)/3⋅2 = f'''(0)/3!; ... 然后,我们对 式(2.n-1) 两边求导,有: 再将 x = 0 带入 式(2.3),得到,a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n⋅(n-1)⋅(n-2)⋯2 = f⁽ⁿ⁾(0)/n!; ... 这样,我们就通过递归的方式,逐一确定了系数,并且最终得到了: ![]() 这称为 迈克劳林公式。 利用 迈克劳林公式,指数函数 f(x) = eˣ 的 幂级数展开式为: ![]() 其,逼近情况如下图: ![]() 我们可以看到,随着幂级数项数的增加,在 x = 0 附近的,蓝色的 幂级数 越来越逼近 绿色 的指数函数。同时,我们还发现,在 距离 x = 0 很远的地方,幂级数项数少的时候,逼近情况并不好,这是 迈克劳林公式的一个局限! 迈克劳林公式的另外一个问题是,有些函数的 导数 在 x = 0 处 没有意义,例如:函数 √x 的 导数是 1/2 √x。 为了弥补这两个缺陷,我们考虑 将 逼近中心,从 x = 0 移动到 任意 x = a,这时,我们每个函数项为: ![]() 然后,用与上面的一样的方法(只不过,每次带入 x = a),可以求得系数为: ![]() 最后,得到: ![]() 这就是 泰勒公式。 利用 泰勒公式 就可以 得到 √x 在 x = 1 处展开式了: ![]() 代入 x=2 就可以得到 √2 的另外一种逼近: ![]() 综上,我们可以得出 小结论1: 泰勒公式就是 在 x = a 点附近 利用幂函数序列 (x - a)⁰, (x - a)¹, (x - a)², (x - a)³, ... 来逼近 函数 f(x)。 由《平面解析几何》知,平面上的点和二维向量一一对应,所有这些二维向量组成一个二维向量空间,记为 R² ,在这些二惟向量中, 单位向量 ε₁ = (1, 0),ε₂ = (0, 1) 分别指向 X 轴 和 Y 轴 的正方向。 ![]() 对于 R² 中任意一个 向量 α = (a₁, a₂),都有: ![]() 即, ![]() 这说明 任意一个 向量 α 都可以用 ε₁, ε₂ 来表示,我们称 ε₁, ε₂ 为向量空间 R² 的一组基,称这种表式为 线性表示。 基 ε₁, ε₂ 和 坐标轴 X, Y 对应,线性表示的系数 a₁, a₂ 就是 α 的坐标分量, (a₁, a₂) 就是 α 在 ε₁, ε₂ 对应 坐标系 XY 中的 坐标。 类似地,以上模式,对于任意 n 维空间 Rⁿ 同样适用。我们 只需 令 Rⁿ 的 基 为: ε₁ = (1, 0, ..., 0),ε₂ = (0, 1, 0, ..., 0), ..., ε_n = (0, 0, ..., 1) 则, Rⁿ 中 任意 n维向量 α ,都可以被线性表示为: ![]() 其中,系数 (a₁, a₂, ..., a_n) 为 α 在 ε₁, ε₂, ..., ε_n 对应坐标系中的 坐标。 不仅如此,我们还可以将有限维向量 α = (a₁, a₂, ..., a_n) 升级为无限维 α = (a₁, a₂, ...) ,无限维向量也就是序列,记为 α = {a₁, a₂, ...},将全体序列记为 l。定义 无限个元素的基为: ε₁ = {1, 0, ...}, ε₂ = {0, 1, 0, ...}, ... 则, l 中 任意序列 α = {a₁, a₂, ...} ,都可以被线性表示为: ![]() 其中,系数 (a₁, a₂, ...) 为 α 在 ε₁, ε₂, ... 对应无限坐标系中的 坐标。 序列,α = {a₁, a₂, ...},其实就是 正整数 Z₊ 到 实数 R 的映射,α: Z₊ → R,其中 Z₊ 中的 正整数 作为 序列下标,任意给定 一个 下标 i ∈ Z₊ 都可以通过 α 得到,序列的第 i 个 数字 ![]() 考虑将 映射 α 的定义域,由 正整数 Z₊ 变为 实数 R,这样 映射 α 就变成了 我们熟悉的 函数 f: R → R,我们将 区间 [a - b, a + b] ⊂ R 内 满足 一定条件 的全体 函数 组成 函数空间, 记为 L²[a - b, a + b]。定义 无限个元素的基为: ε₀ = (x-a)⁰, ε₁ = (x-a)¹, ε₂ = (x-a)², e₃ = (x-a)³, ... 则,函数空间 L²[a - b, a + b] 中 任意 函数 f(x) 都可以 用 这一组基 来线性表示: ![]() 这就是 泰勒公式。
![]()
当 a = 0, b = 1 时,空间 L²[-1, 1] 内 任意 函数 f(x) 都可以被 幂函数 基 x⁰, x¹, x², x³, ... 线性表示为: ![]() 这就是 泰勒公式的特殊形式 迈克劳林公式。
综上,我们可以得出 小结论2: ![]() 泰勒公式, ![]() 中的 幂函数 (x-a)⁰, (x-a)¹, (x-a)², (x-a)³,... 其实 是 无限维 函数空间 L²[a - b, a + b] 的一组基,构成 L²[a - b, a + b] 的一个无限坐标系,系数 (a₁, a₂, ... ) ,f(x) 在 这个坐标系中的 坐标。 (所谓通俗解释,就是非常个人化的理解,并不是非常严谨,以上仅仅是小石头的理解方式,写在这里起到抛砖引玉的作用,相信头条的各位老师会有更精彩的回答!) |
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