伪装成二次函数的几何压轴题（2020年常州第28题）

在二次函数压轴题中，通常会有许多几何图形，虽然在坐标系中，抛物线解析式、直线解析式、点坐标大行其是，但利用好几何性质对解此类题目往往有意想不到的快捷作用。

常州这道压轴题便属于这一类，而且到最后一问，几乎沦为纯几何压轴题，抛物线更像是“假”的，将它拿掉也并不影响解答，也算是压轴题中的另类了。

题目

如图，二次函数y=x²+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C(1,0)，且顶点为D，连接AC，BC，BD，CD.

(1)填空：b=________；

(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q，若∠CQD=∠ACB，求点P的坐标；

(3)点E在直线上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG.当点F在x轴上时，直接写出AG的长.

解析：

(1)将点C(1,0)代入y=x²+bx+3，即可求出b=-4；

(2)先做好准备工作，图中能求的点坐标不少，不妨先求出来备用，A(0,3)，C(1,0)，D(2,-1)，B(4,3)；

观察怀疑∠BCD是直角，下面我们来验证，分别求出BC=3√2，CD=√2，BD=2√5，发现BC²+CD²=BD²，由勾股定理逆定理得到∠BCD=90°，而且tan∠DBC=1/3；

再观察Rt△AOC，发现tan∠CAO=1/3，找到一个等量关系了，即∠DBC=∠OAC；

继续从刚才得到的直角出发，直线BC的解析式很容易求，是y=x-1，发现它与x轴夹角为45°，出现一个特殊角；

将这些发现结合起来，我们对∠ACB的认识可以更深入，如下图：

过点C作CH⊥AB，这样将∠ACB分成∠ACH和∠BCH，其中∠BCH=45°，即∠ACB=45°+∠ACH，再由∠ACH=∠OAC，进一步得到∠ACB=45°+∠OAC，此时我们惊喜地发现另一个意外：

若直线BD与x轴交点为K，则有∠CKD=∠BCK+∠DBC，其中∠BCK=45°，还记得前面我们探索出来的∠DBC=∠OAC吗？现在我们可得到∠CKD=45°+∠DBC=45°+∠OAC=∠ACB了，说明此时直线PC与x轴重合，点Q与点K重合，那么点P坐标就是抛物线与x轴的另一个交点，为(3,0)；

乘胜追击，难道只有一个这样的点Q吗？显然不会，另一个点Q在哪里呢？继续作图探索如下：

另一个点Q，与点C、K恰好构成一个等腰三角形，于是作CM⊥BD于点M，先求出BD的解析式为y=2x-5，所以设CM解析式为y=-1/2x+t，代入点C坐标求出t=1/2，于是CM为y=-1/2x+1/2，与y=2x-5联立之后求出点M(11/5,-3/5)，它一定是QK的中点，由中点公式可求出Q(19/10,-6/5)，再求出CQ的解析式为y=-4/3x+4/3，它与抛物线的交点为P(5/3,-8/9)；

(3)点E在直线AC上，且关于直线DB的对称点F恰好在x轴上，为了找到这个点，我们不妨将直线AC关于直线BD对称，对称后的直线与x轴交点即为点F，如下图：

先求出直线AC与直线BD的交点N的坐标，为(8/5,-9/5)；

仍然观察到∠ACB=∠CNB+∠DBC，同样别忘记前面我们探索过∠ACB=45°+∠DBC，于是发现∠CNB=45°，这算是重大发现了。

由轴对称性质可知∠DNF=45°，即∠CNF=90°，于是△FNC∽△AOC，我们可利用tan∠NFC=1/3求出它各边的长，因为CN可求，为3√10/5，所以求出CF=6，此时观察△CFG，其中∠BCF=45°，所以∠FCG=90°，由轴对称性质可知△CFG为等腰直角三角形，得到CG=CF=6，点G坐标可求，结果是(1,6)，最后由两点间距离公式求出AG=√10.

解题反思

给人印象最深的是第3小题，关键点在于得到∠CNB=45°，到最后推导的时候，发现图中许多都是特殊图形，事实上点C与点G关于直线AB对称，还有诸多等腰直角三角形。

此题也可以用求各直线解析式，再求交点，联立方程来求解，但复杂程度比起用几何性质还是太高了，如果把它当成几何压轴题，路便要好走得多。

在找点F的过程中，它是否唯一点，也可以用轴对称性质来解释，由于点E在直线AC上，同时点E与点F关于直线BD轴对称，那么点F就一定在直线AC关于直线BD轴对称的图形上，这也是我们为什么要作轴对称直线的原因，而这条直线即图中的NF，与x轴交点也只有唯一一个。

一道伪装成二次函数压轴题的几何综合题，真是巧妙！