世界难题四色猜想首次数学直接证明（完整版）——刘江

木桩指路 2020-08-17

展开全文

四色问题：又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆，如下图A。

如果你想了解图A的涂数是如何填入的，请跟我一起来开始证明四色猜想的旅程吧，过程相对枯燥，阅读需要耐心。

证明思路：任何一个国家的形状都可以由圆形变形而来，我们假设这个国家为A，而任何一个平面和球面地图我们都可以从A国开始往外增加国家做出这幅地图，所以只要推导从A国开始再增加1到x国，无论是增加的国家还是其外延始终小于等于4，那么就可以直接推导出任何平面和球面地图都只需要用4色就可以涂成。

定义：外延为图一中的Y（如图一所示）：在球面地图中Y是除封闭A外的剩余部分，Y就犹如地球的海洋，有陆地就必然有海洋，所以在球面内Y是A永远无法抵达的部分；在平面地图Y就相当于做平面地图的涂布，所以Y也是永远无法到达边缘的。因此对于球面地图或者平面地图，都可以用图一表示，而Y都是它们无法触及的部分。

证明过程（1、2、3、4表示四种颜色）：

第一步：任何一个平面或者球面只有两国，必两国最多只有一条边重合。

如图所示：A=1，Y=2，重合的一条边为红圈。

第二步：任何一个平面或者球面只有三国，两两之间最多只能重合两条边。

如图所示：A=1，B=2，Y=3，与外延Y重合的两条边分别为红线和蓝线。

第三步：任何一个平面或者球面只有四国，两两之间最多只能重合三条边。

证明过程：

当形成第三国C国的fd线（黄线一飘）的d点在A国的fb线（红线一飘）除f点上时，C国涂色最小为C=2，此时：A=1，B=2，Y=3；当形成C国的fd线（黄线一飘）的d点在第二国B国的bc线（蓝线一飘）或者在A国的cf线（红线二飘）除b点的位置时，第三国C涂色最小为C=3，此时：A=1，B=2，Y=4。所以其最小涂色的最大数情况为A=1，B=2，C=3，Y=4，与外延Y重合的三条边分别是红、蓝、黄线。

第四步：任何一个平面或者球面只有五国，两两之间最多只能重合四条边。

证明过程：

当第三国C国的fd线（黄线一飘）的d点在A国的fb线除f点上时，第三国C国涂色最小C=2，此时：A=1，B=2，Y=3；当形成第三国C国的fd线（黄线一飘）的d点在第二国B国的bc线（蓝线一飘）或者在A国的cf线（红线二飘）除b点的位置时，第三国C国的涂色最小为C=3，此时：A=1，B=2，Y=4，故我们以第三国的最小涂数的最大数为推导前提。如果以最小数为前提推导，增加第四国就相当于增加第三国，属于倒退现象无意义。这里我们假设C=3。

因此当形成第四国D国的eh线（粉线一飘）的h点在A国的ef线（黑色一飘）除e点上或者第三国C国的fd线（黄色一飘）上时，第四国D国的涂色最小为C=2，此时：A=1，B=2，C=3，Y=4；当形成第四国D国的eh线（粉线一飘）的h点在第二国B国的dc线（蓝线一飘）除d点或者在A国的ce线（红线二飘）的位置上时，第四国D国涂色最小为D=4，此时：A=1，B=2，C=3，Y=3。与外延Y重合的四条边分别是红、蓝、黄、粉线。

第五步：任何一个平面或者球面只有六国，两两之间最多只能重合四条边。

证明过程：

根据第五步的情况，我们推导下一国的涂色数，必须以上一国的最小涂数的最大数为前提，否则属于倒退，所以我们假设D=4。

当形成第五国F国的zj线(绿线一飘)的j点在A国的ze线（黑色一飘）除i点上或者第四国的eh线（粉线一飘）上时，第五国F国的涂色最小为F=2，此时：A=1 ，B=2，C=3，D=4，Y=3；当形成第五国F国的zj线(绿线一飘)的j点在第二国的hc线（蓝线一飘）除h点或者在A国的cz线(红线双飘)的位置上时，第五国F国最小涂色为F=3，此时：A=1 ，B=2，C=3，D=4，Y=4，与D国重合的四条边分别是红、蓝、黄、绿线。

第六步：如6图所示，再增加X国，X-1国为最大涂数时，X国的涂色总在2、3、4的范围内变化。当X-1国等于4时，如X=2，那么Y=3；如果X=3，那么Y=4。当X-1国等于3时，如X=2，那么Y=4；如X=4，那么Y=3。当X-1国等于2时，如X=2，那么Y=3；如X=3，那么Y=4。因此X和Y始终小于等于4。

第七步：根据以上结果可以证明与A国相邻再增加无限国家，X和Y都小于等于4。我们以此为结果推导多层复杂结构的四色问题。

一、Y=2

A、当Y=2时，新增国Xn与已有国没有重合边：

如图所示，当Y=2不变时，再增加的Xn都等于1，并且国与国之间没有重合边或点，呈现一种气泡状。我们将之称为经典情况，也为它命名为经典情况一。

B、当Y=2时，新增国Xn与已有国只有一条边重合：

如图所示，当增加国Xn仅有一条边与X1国重合时，Xn=Y-X₁(X₁为Xn与已有国重合边涂数)。Xn呈1和2循环的单链态向外可以无限延伸。在球面和平面内两链之间无重合边或点。因此当Y=2时，除了一种经典情况必然发展到Y=3，这种链式状态我们称之为经典情况二。

二、Y=3；

A、当Y=3时，新增国Xn与已有国只有一条边重合：

情况一：

情况二：

如图所示，当增加国Xn只有一条边与已有国重合时，Xn=Y-X₁(X₁为Xn与已有国重合边涂数)。此种情况Y=3，结构呈发散之势，在球面和平面内两两发散链之间无重合边或点，此种情况属于一种经典情况，我们为它命名为经典情况三。

B、当Y=3时，新增国Xn与已有国只有二条边重合：

如图所示：当增加的X3国有两条边与已有国家重合时，X3=3，Y=4。从X4增加到Xn国的情况下，Xn=10-X₁-X₂-Y(X₁和X₂为重合边两国涂数)。Xn向外延伸，在球面和平面内无重合边或点。此种情况属于一种经典情况，我们为它命名为经典情况四。

三、Y=4 ；

A、当Y=4时，新增国Xn与已有国只有一条边重合：

情况一：

情况二：

如图所示：当增加的Xn国只有一条边与已有国家重合时，Xn=Y-X₁（X₁重合边国家涂数）。当X ₁=1和X ₁=2时，此时用Y=3求解Xn；此时Xn等于1或者等于2，在单链上会呈1和2的交替循环，结构呈发散之势，在球面和平面内两两发散链之间无重合边或点，属于一种经典情况，我们称它为经典五。

B、当Y=4时，新增国Xn与已有国只有二条边重合：

如图所示：当增加的Xn国有两条边与已有国家重合时，Xn=10-X₁-X₂-Y(X₁和X₂为重合边两国涂数)，且发散之势，在球面和平面内两两之间无重合边或点，属于一种特殊情况，我们称它为经典情况六。

C、B、当Y=4时，新增国Xn与已有国只有一条或二条边重合：

如图所示：当增加的Xn国只有一条边与已有国家重合时，Xn=Y-X₁（X₁重合边国家涂数）。当X ₁=1和X ₁=2时，此时用Y=3求解Xn；有两条边与已有国家重合时，Xn=10-X₁-X₂-Y(X₁和X₂为重合边两国涂数)，且呈发散之势，在球面和平面内两两发散链或面之间无重合边或点。属于一种特殊情况，我们称它为经典情况七。

D、当Y=4时，新增国Xn与已有国有三条边重合：

如图所示，当X4与已有国家有三条边重合时，Xn=Y，Yn=10-X ₁-X ₂-Y（Yn为新的外延，X ₁是与Xn有两条边重合的国家涂数）。而当Y=1或者Y=2时，如图二十、图二十三和图二十六属于同构体，都可以把Y变换成3，然后从外到内反推已有国家涂数如图所示，此时所有国家涂色依然小于等于4。又因为图二十、图二十三和图二十六也是我们推论的第一步到第七步已经推论出的以A国为中心形成的最复杂体的一个单元。所以我们也以图二十为我们开始多层结构推论的基本单元。

三、基本单元Y=3：

A、当Y=3时，新增国Xn与已有国只有一条边重合：

情况一：

情况二：

如图所示，当增加国Xn的一边与已有国家重合时，当Y＞X ₁时Yn=Y-X ₁；当X ₁＞Y时Yn= X ₁-Y（Yn为新的外延，X ₁是与Xn有两条边重合的国家涂数）。Xn在1和2之间循环，结构呈发散之势，在球面和平面内两两发散链之间无重合边或点。属于一种经典情况，我们称它为经典八。

B、当Y=3时，新增国Xn与已有国只有二条边重合：

如图所示：当增加国Xn的二边与已有国家重合时，Xn=10-X₁-X₂-Y(X₁和X₂为重合边两国涂数)，如上所示此种结构Xn呈双链状态向外延伸，在球面和平面内双链之间无重合边或点。此种情况属于一种经典情况，我们为它命名为经典情况九。

C、当Y=3时，新增国Xn与已有国有一条或两条边重合：

如图所示，新增国Xn的与已有国重合边为1时，当Y＞X ₁时Yn=Y-X ₁；当X ₁＞Y时Yn= X ₁-Y（Yn为新的外延，X ₁是与Xn有两条边重合的国家涂数）；当新增国重合边为2时，Xn=10-X₁-X₂-Y(X₁和X₂为重合边两国涂数)；或者1和2交替出现，Y=3不变。如上所示此种结构Xn向外发散之势，在球面和平面内双链之间无重合边或点。此种情况属于一种经典情况，我们为它命名为经典情况十。

D、当Y=3时，新增国Xn与已有国有三条边重合：

如图所示：当新增国Xn有三条边与已有国重合时，Xn= Y=3，当Y＞X ₁时Yn=Y-X ₁；当X ₁＞Y时Yn= X ₁-Y（Yn为新的外延，X ₁是与Xn有两条边重合的国家涂数）。又因为实际与外延接触的国家只有两个，所以我们可以把Y替换成3，然后从外到内反推已有国家涂数如图所示，依然X小于等于4。此种情况循环到了二的B情况。

E、当Y=3时，新增国Xn与已有国的重合边为一个结合{1、2、3、4…N}，此时只有一个条件，X4≠3。如果X4=3，则循环到了C种情况。

此种情况下有三种特殊情况：

定义：设增加Xn-1国后整个图形与外延重合的边总数为Z。Xn与已有国重合的边总数为Zn。

① 、当Zn=Z时，并且在Z边有两处重合，如图所示；

此时，Xn=Y，当Y＞X ₁时Yn=Y-X ₁；当X ₁＞Y时Yn= X ₁-Y（Yn为新的外延，X ₁是与Xn有两条边重合的国家涂数）。当Y=2，转换成Y=3，如下图所示：

方法：将Xn与X1形成的圈内所有的2换成3，3换成2皆可。

当Y=1，转换成Y=3，如下图所示：

方法：将Xn与X1形成的圈内所有的1换成3，3换成1皆可。

② 、当Zn=Z时，并且在Z边只有一处重合，如图所示；

此时，Xn=Y，Yn=10-Xn-X1-X2。（Yn为新的外延，X ₁和X₂是与Xn有两条边重合的国家涂数）

当Y=4，转换成Y=3，如图所示：

转换方法：将Xn与X1形成的圈内所有的4换成3，3换成4皆可。

当Y=1时，转换成Y=3，如图所示：

转换方法：将Xn与X1形成的圈内所有的1换成3，3换成1皆可。

当Y=2时，转换成Y=3，如图所示：

转换方法：将Xn与X1形成的圈内所有的2换成3，3换成2皆可。

③ 、当Xn≥3，X1=X2时，如图所示：

当相交的边≥3时，根据Xn=Y，所以X14=Y=4，根据Yn=10-Xn-X1-X2，Y14=10-4-3-3=0，此时需要变换一下。当相交的两国X1=X2时，X1可以取相交国涂数，而X2必须取Xn相交国与外延有重合边的国家涂色，如图五十五补中，X2=1，而1就是X4 的涂数。这时候与X14相交的国家除去两个相同的国家涂色，有且只有一个国家与X14相交并于外延相交。如果相交的国家涂数有另外两个不同涂数，则必然有一个国家涂数被包围而不会再与外延重合，所以X2具有唯一性。

讨论了三种特殊情况我们来讨论一般情况：

如图所示：

根据以上推论总结公式：

当Y=3时：

Zn=1，当Y＞X ₁时Xn=Y-X ₁；当X ₁＞Y时Xn= X ₁-Y（Yn为新的外延，X ₁是与Xn有两条边重合的国家涂数）;

Zn=2，Xn=10-X1-X2(X1、X2为Xn已有国重合边的涂数）,如果X1=X2，X2等于同时于Xn和Y有重合边的国家涂数。

3≤Zn＜Z，Xn=Y，Yn=10-Y-X1-X2(X1、X2为Xn已有国重合边的涂数)

根据以上公式可以得知：

Xn=Y=3，Y1=10-3-2-4=1

因为Y1=1，与已有国冲突（上图标黄国）

所以我们要以新的Y1重新标定已有国的涂数；

定义：当，3≤Zn＜Z ，Xn=Y，此时所有不与Xn有重合边的国家总和，我们称为小外延，我们用字母W表示。