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今年各地的中考题目普遍难度下降了一级。 广州每年的几何与函数压轴题都挺不错。不过考查的知识点和方法往往都是那几类，比较容易被预测或者撞到。 今年仍然是以圆为背景的题目，利用旋转或者对称进行构造辅助线解决问题。 【中考真题】 （2020·广州）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC． （1）求证：DC是∠ADB的平分线； （2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值． 【分析】 题（1）主要是利用圆周角定理及其推论进行解答即可； 题（2）要求面积，由于四边形直接求不好求，所以需要考虑进行转化。 本题的关键条件就是等边三角形。而且点D在三角形外部，所以这种图形就是平时练习中超级常见的类型。只需要进行旋转，或者说截长补短即可。 将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到上图。可以把四边形的面积转化为等边三角形CDH的面积即可。 当然，如果把△BCD绕着点C顺时针旋转60°也是可以的。 题（3）是最短路径问题，求三个动点组成的三角形周长最小。与人教版八年级上课本的课后作业题差不多。就是牧马人先带马去吃草，再到河边饮水，然后回到帐篷。通过对称即可把三条线段化为两点间的线段即可。 【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°， ∴∠ADC＝∠BDC， ∴DC是∠ADB的平分线； （2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数， 理由如下： 如图1，将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC， ∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC， ∵四边形ACBD是圆内接四边形， ∴∠DAC+∠DBC＝180°， ∴∠DBC+∠HBC＝180°， ∴点D，点B，点H三点共线， ∵DC＝CH，∠CDH＝60°， ∴△DCH是等边三角形， ∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH=√3/4CD²， ∴S=√3/4x²； （3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F， ∵点D，点E关于直线AC对称， ∴EM＝DM， 同理DN＝NF， ∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN， ∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值， 则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF， ∴△DMN的周长最小值为EF＝t， ∵点D，点E关于直线AC对称， ∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD， ∵点D，点F关于直线BC对称， ∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB， ∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°， ∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°， ∴EP＝PF，∠CEP＝30°， ∴PC=1/2EC，PE=√3PC=√3/2EC， ∴EF＝2PE=√3EC=√3CD＝t， ∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值， ∵CD为⊙O的弦， ∴CD为直径时，CD有最大值4， ∴t的最大值为4√3． 【总结】 旋转 最短路径问题 |
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