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数学家在他们的创造性活动中是如何思维的，他们运用了哪些思维方法，这同样是数学教育必须关心的问题。 学习数学,核心是学会像数学家那样进行思维，因此，每个家庭都应该知道的一些原理，以便在日常生活中培养孩子打破常规的思维方式。 拉马努金和哈代在剑桥大学 | 出自电影《知无涯者》（The Man Who Knew Infinity） 如果问“一个数学家是如何思考的”，就类似于问“一位音乐家是如何创作的”。同样的，这个问题可以用来了解创造性的工作是如何进行的。 科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发展有什么偶然的机遇的话，那么这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人，对于一些别人看来司空见惯的事，往往也表现出浓厚的兴趣，提出一些新的问题。 比如，小学生们一般都很顽皮，老师为了让孩子们安静下来，在黑板上写下了一个很难的问题让他们解答 '将数字 1 到 100 的中的所有数字相加' 刚好那天，后来被认为是最伟大的数学家的高斯在那个班上。老师以为孩子们会花很长时间才能解出这个问题，没想到不到一会儿，高斯就开始和他的朋友们说话。老师询问高斯为什么不答题而在课堂上讲话，高斯说他已经解出了这个问题。当班上的其他学生将数字一个一个相加的时候，高斯做了一些不同寻常的事情。他发现，将序列的左边和右边分别相加时，总能得到数字 101。比如：1+100，2+99，3+98，…,50+51，总共有50个101。 如果仔细研究这个方法，将会发现即使是小孩子也能发现的规律。但是，并非是所有的小孩子都能像这样解决问题。而且，即使是很多聪明人，他们五十多岁的时候都不一定会想到这种简单的解决方法。 简而言之，有很多现有的例子来分析数学家们是如何思考的。几乎每一位数学家都在修改和操作以前介绍给他们的定理和证明，以找到新的想法或解决问题。但是那些被认为是天才的人正在做一些其他的事情。 比如说，假设有这样一位音乐家，他不必是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫或者伊戈尔·斯特拉文斯基。他只是一位普通的音乐家，能够做好自己的本职工作。之前他在音乐学院学习了四年，之后得到了他的硕士和博士学位。现在，如果请他作曲，他会作么？答案是显然的，虽然不确定他是否创作类似巴赫那样的作品，但是经过教育或者受训，任何人都可以学到一些东西。在数学系学习四年的学生肯定会学到一些数学的思维。但这就像是“接受一小时训练，期望得到一个新的定理”。 数学思维是一个连续的过程。接受的教育对思维的定型有很重要的影响。比如，数学家和物理学家在一起讨论的时候，他们永远无法就某个点达成一致。因为当物理学家从不同的角度看问题的时候，数学家会从不同的地方看问题。比如，对数学家说李群时，数学家会直接说括号运算，而物理学家会说结构恒定且起作用。他们解决问题的方法完全不同。 数学家们有特殊的思考方式，这种方式从作业，考试题目和课本中慢慢显现。同样，这是一个非常漫长的过程，需要很长时间。 雅克·阿达玛所著之《数学领域中的发明心理学》是关于数学创造的一本好书，最早于1945年出版，目前仍印行流通，现在读来依然非常切题，我建议你找一本来看看，阿达玛提出两项重要观点， 第一，大部分的数学思考是从模糊的视觉影像开始，然后才用符号使之形式化，他说，90%的数学家都是如此思考，剩下10%的数学家则从头到尾都使用符号，第二，数学的想法似乎历经以下三个阶段方才产生， 首先，必须对问题下很大的工夫，尝试了解问题，找出解决的方式和透过范例去发现有用的通则，通常在这一阶段，问题的实际困难浮现出来，深陷无望的混淆之中，在这个时间点上，停止思考问题，转而做其他事将很有帮助，包括做些园艺工作、写写上课讲义、开始解决其他问题， 亨利·庞加莱或许是我最喜爱的伟大数学家， 他特别留意自己的思考过程，并将过程对心理学家发表，他称第一阶段为“准备”，第二阶段为“启发后的孕育”，第三阶段为“验证”， 他特别强调潜意识的角色，在题为《数学的创造》的论述里，有一段著名的文字值得引述：“整整有十五天，我努力证明不存在任何像是富克斯函数的函数，那时我一片茫然，每天坐在桌前一两个小时，尝试许多的组合，但没有任何结果，某个下午，跟往常不同，我喝了黑咖啡睡不着觉，突然涌现许多想法，彼此碰撞直至相互产生关联，可以说是产生稳定的组合，第二天早上，我已经建立从几何系而来，整类富克斯函数的存在性，我只需几个小时便将结果写下来了”， 这只是庞加莱经历的某个时刻，让他感到自己“存在于其潜意识之中”， 华罗庚先生曾在书中提到数学研究分为四种境界， 第一种是照葫芦画瓢的模仿，模仿性的工作，实际上就等于做一个习题 第二种是利用成法解决几个新问题，这个比前面就进了一步，但如果是直接利用成法也和做习题差不多，而利用成法，又通过一些修改，这就走上搞研究的道路了， 第三种是创造方法，解决问题，这是一个重要的转折，也是自己能力提高的重要表现，第四种为开辟方向，开辟了一个方向，可以让后人做上几十年，成百年，这是数学研究的最高境界 当代和后代的人们不会理解它，这一发现只能由他的同行来判断，而且还通常会发现不可能找到十二个活着的同行来组成一个评审团，在若百年后，才会有人来评判他的工作，也才能说明其到底走了有多远， 所以真正的数学家本身就是一名狂热的追求真理者，没有狂热的追求也就没有数学. 音乐也是如此，因为音乐和数学是并行发展的，音乐家也和数学家处理同样的事情。例如，有一些电脑音乐作曲家。人的速度是一定的，一个人不能同时按八个地方，但在电脑上可以做任何事。所以有人在想，是否可以在数学思维中引入计算机？这个想法提出了一个问题：计算机能自己研究数学吗？ 艾伦·图灵是第一个提出这个问题的人。 最后，当我们研究数学家是如何思考的时候，我认为我们应该开始思考，如果计算机在未来开始像数学家一样思考，它能用来做什么。 思维训练系列文章： |
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