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新青年数学教师工作室成员论文推荐 本文发表在《教育研究与评论（中学教育教学）》，2016(12) 本文被人大复印资料《高中数学教与学》（2017年第5期）全文转载 “数学欣赏”的提法虽然并不新鲜，但是直到张奠宙先生呼吁“在课堂教学中进行数学欣赏”，其才与数学教学（尤其是中学数学教学）联系起来。从数学教育专业刊物上发表的相关论文来看，在教学实践中，研究者（中学数学教师）对“数学欣赏”的理解大多停留在“欣赏数学美”的层面，甚至将“数学欣赏”与数学史、数学文化课程等量齐观，这就窄化了“数学欣赏”的范畴。本文以一节校本选修课《欣赏向量》的内容设计为例，谈谈基于核心概念的高中“数学欣赏”教学的结构层次。 文 / 任念兵 （华东师范大学第二附属中学） “数学欣赏”的提法虽然并不新鲜，但是直到张奠宙先生呼吁“在课堂教学中进行数学欣赏”，其才与数学教学（尤其是中学数学教学）联系起来。从数学教育专业刊物上发表的相关论文来看，在教学实践中，研究者（中学数学教师）对“数学欣赏”的理解大多停留在“欣赏数学美”的层面，甚至将“数学欣赏”与数学史、数学文化课程等量齐观，这就窄化了“数学欣赏”的范畴。 数学具有真、善、美三个层次的表现力。对数学之真的欣赏包含了对数学的科学性和理性精神的认同；对数学之善的欣赏是对数学的价值和功用的一种肯定；对数学之美的欣赏是对数学的艺术性的感悟。在中学数学教学中，数学的真、善、美往往被淹没在形式演绎的海洋里，需要教师大力挖掘、用心体察，才能引导学生发现和欣赏。 笔者曾经在《基于核心概念的高中“数学欣赏”教学初探》一文中探讨了基于核心概念的高中“数学欣赏”教学的基本内涵。下面，以一节校本选修课《欣赏向量》的内容设计为例，谈谈基于核心概念的高中“数学欣赏”教学的结构层次。 欣赏数学之真即分析与核心概念相关的概念、性质、定理、公式等，揭示形式演绎背后的数学本质，同时发挥核心概念及其反映的数学思想方法在数学学习中的引领作用，引导学生学会研究一个全新的数学对象的基本思路。它有助于核心概念的理解，也有助于解题思路的指导，能够将欣赏提升到“内行看门道”的层面。 向量是近代数学的基本概念，是沟通代数和几何的桥梁和重要工具，因此欣赏向量和向量法，就要从代数和几何两个方面洞察其本质特征。 向量用符号表示方向，成为代数研究的对象，而“运算”是代数的核心。因而，向量的表示（平面向量基本定理指出，平面上任意向量都可以由不共线的两个向量线性表示）和运算（加减、数乘、数量积）自然是向量研究的一条明线。 而向量兼具代数和几何特征，向量的运算既是数的运算，也是图形的运算。沙尔定理与三角形的特征相关，平面向量基本定理与平行四边形的性质一致，向量的数乘与三角形相似紧密联系，平面向量数量积与余弦定理等价。正因为有关向量表示和运算的这四个“一般定理”刻画了欧氏几何的基本图形（三角形和平行四边形），内蕴着几何要素之间的基本关系（相似、余弦定理），所以向量能串联众多的几何知识，解决复杂的几何问题。 此外，欣赏向量之真，理解向量与向量法的本质，对于解题有强大的方向指引作用。运用向量回路（沙尔定理）研究平面几何问题的难点在于解题方向不明确，往往“绕来绕去”又回到原地。面对这一思维的困难，很多师生宁愿选择坐标运算，即将寻找向量回路的思维量转化为坐标运算的计算量。而洞察了向量法的四个“一般定理”之后，则常常可以切中肯綮，找到解题的突破口。比如，向量数量积的运算律（分配律）可以由极化恒等式证明，因此破解向量数量积问题时，极化恒等式自然是首选的利器。 2013年高考浙江省理科卷第7题解法多样，而利用极化恒等式的解法无疑是其中最简捷、最能体现问题实质的。在涉及平面向量的问题中类似的例子还有很多，有兴趣的读者可以从中领略“欣赏向量之真”对于启迪思维、指明方向的意义和作用。 欣赏数学之善即在梳理核心概念所蕴涵的数学思想的同时，领略数学模型的神奇功用，引导学生感悟基于核心概念的数学模型的应用价值，包括其在数学内部、其他学科和实际生活中的应用价值——二战后的诸多伟大的数学成就，如控制论、信息论、计算机科学等，均是数学之“善”的具体例证。它有益于沟通数学内部各分支、数学与其他学科以及数学与实际生活的联系，激发创造性思维。 在数学内部，向量不仅可以研究几何问题，而且可以研究一些代数问题，比如由 德国数学家格拉斯曼于1844年引入了n维向量的概念，将一个n维向量定义为一个n维的数组 欣赏数学之美即欣赏数学概念、定理、公式本身的形式之美，如对称、统一、简洁、奇异等；或创设核心概念的相似情境，联系核心概念的发展历史，沟通、咀嚼数学思考背后的人文意境和文化意蕴。它能够增强学生对于数学的感性认同。 很多涉及向量的命题都是内容简洁、结构对称的，体现着数学的形式美感。还有一些有关向量的结论，尤其是体现线性空间“基底”思想的分解定理，如一维的共线向量定理、二维的平面向量基本定理、三维的空间向量基本定理，结构统一，体现了不同维度的向量空间的共同特征。 另一方面，梳理向量概念的历史发展线索，并赋予人文角度的解读，也是欣赏向量之美的一种尝试。数年前，笔者曾拜访张奠宙先生，请教“数学欣赏”相关问题。张先生就用向量的“家世”来比喻向量的发展历程： 第一代向量是力，以平行四边形法则为特征。大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的合成可用平行四边形法则获得。 第二代向量引进了“数乘”运算，可以进行分解，形成了自身特定的数学结构。此时不再是孤立的几个向量的运算，而是形成了一族向量，相当于一个“社会”。 第三代向量引进了“数量积”运算，使两条直线夹角的余弦就是这两直线所在方向的单位向量的数量积，三角形的面积也可以用向量的数量积求得……诸多几何问题都可以用向量方法“一揽子”解决。向量几何使用向量的数量积比起综合几何“个别处理”的技巧自然轻松得多，可谓“以简驭繁”，就像人类社会掌握了高科技。 如果说第一代向量是远古的“原始人”，那么第二代向量就相当于具有社会性质的“文明人”了，而第三代向量则好比进步到了“现代人”的程度。 将向量的历史发展与人类的文明进步相类比，既能体会向量发展的每个阶段的人文意境，还能凸显引入新的运算对于向量发展的重要意义。贴切的比喻往往能将抽象的数学对象直观化。 总之，基于核心概念欣赏数学的真、善、美，是对数学知识、思想、方法甚至文化的深入洞察、体味和理解。学生长期浸润在这样的课堂中，数学能力和数学素养必将随之提高。因此，数学欣赏应该成为高中数学教学活动的一个基本形态，需要我们广大教师不断探索其具体的实施途径和策略。 *本文系上海市青年教师教育教学研究课题“高中‘数学欣赏’校本课程的开发研究”（编号：Y2015A13S122V2075）的阶段性研究成果之一。 参考文献 [1]张奠宙，柴俊.欣赏数学的真善美[J].中学数学教学参考（上旬），2010（1～2） [2]任念兵，汪健.基于核心概念的高中“数学欣赏”教学初探——以校本选修课《欣赏“无限”》的内容设计为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（7） [3]项武义.基础几何学[M]．北京：人民教育出版社，2004 |
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