【原】好文荐读 | 论“数学抽象”的基本特征

新青年数学教师 2020-09-02

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本期推荐浙江台州学院鲁杰峰、马文杰两位老师的文章，此文引用格式：

鲁杰峰，马文杰.论“数学抽象”的基本特征[J].数学通讯(教师版)，2019(1)：1-5.

此文内容摘要：

数学抽象是数学最基本的思维方式之一，在一定程度上体现出了数学的本质特征，具有重要的学科价值与教育价值.以数学抽象为基本研究对象，在深入分析已有相关研究的基础上，基于数学教学和数学学习，对数学抽象的基本特征进行了进一步的梳理、归纳和概括.即：数学抽象具有价值性、客观性、模型化、形式化、理想化、精确性、纯粹性、发展性的基本特征。

论“数学抽象”的基本特征

‍‍鲁杰峰、马文杰/台州学院电子与信息工程学院(317000)

《普通高中数学课程标准》(2017年版)明确提出了“学科核心素养”，即：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，并把其确定为我国普通高中数学课程的主要课程目标之一.由此可见，对于数学教师和数学教育研究者而言，了解并掌握数学抽象(mathematical abstraction)的基本内涵与基本特征具有重要的研究意义与教育价值.本文在全面梳理与深入分析已有相关研究文献的基础上，基于数学教学和数学学习，对数学抽象的基本特征进行进一步的梳理、归纳和概括.

一、关于“数学抽象”基本内涵的部分已有研究

“数学在本质上研究的是抽象了的东西”^[1].许多学者对“数学抽象”进行了相应研究.徐利治与郑毓信(1990)^[2]从定性和定量的广泛角度对数学抽象的问题进行了较为全面和深入的分析，认为“所谓抽象，通常是指从具体事物中抽取出相对独立的各个方面、属性及关系等等的思维活动”.有研究者认为“数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程”^[3].王华民、蔡旭、何英(2016)^[4]结合自身的数学教学实践，认为“数学抽象是指通过观察、分析，撇开事物表象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律的一种数学研究方法.”李昌官(2017)^[5]认为“数学抽象是指舍弃事物的一切非数学属性(如物理属性、化学属性、生物属性、社会属性等)，从数量与数量关系、图形与图形关系两方面抽象出数学概念及概念之间的联系，从事物与事物之间的联系、事物内部要素之间的联系中抽象出一般规律和结构，并用数学语言加以表征”，等等.

通过初步的分析可知：不同的研究者从不同角度对数学抽象的基本内涵进行了一定的阐述.虽各有侧重，但所有的研究者都认为数学抽象是具有重要价值的，并且大都认可数学抽象是以具体事物为载体，通过观察、分析，抽取出事物的本质因素，从事物的数量关系与空间关系来考虑事物的一种数学研究方法，并在一定程度上体现了事物的本质特征，以及数学和数学研究的本质特征，等等.

二、关于数学抽象基本特征的部分已有研究

郑毓信(1990)^[6]认为数学的抽象特性是：(1)“数学是从量的方面反映客观实在的”.(2)“数学抽象的特殊性又表现在数学抽象所达到的特殊高度上.数学抽象的程度超过其它科学的一般抽象.”(3)“数学抽象的特殊性还在于特殊的抽象方法”，并应在下述的意义上理解“数学对象与真实的脱离”：(1)理想化.“对于真实事物或现象的必要简化与完善化”；(2)精确化.“只有借助于所说的数学概念，相应的素朴观念才能获得明确的意义”；(3)模式化.“数学的研究对象是一种(量化)模式，数学可以说是对于(量化)模式的研究”.(4)与真实的分离.“在纯粹的数学研究中，是以抽象思维的产物(模式)为直接对象，而不是以可能的现实原型为直接对象”.吕林海(2001)^[7]认为数学抽象具有以下特征：(1)从背景上看数学抽象的客观性.“数学从量的侧面反映了客观现实”；(2)从产生上看数学抽象的能动性.“数学以最纯粹的形式体现了人的认识的主观能动性.这种能动性，从哲学上看，又仍然是人类的实践能动性的高度抽象化的反映”；(3)从内容上看数学抽象的特殊性.“数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其它一切”；(4)从方法上看数学抽象的构造性.“数学抽象是一种构造性活动、是借助定义和推理进行的逻辑建构”；(5)从形式上看数学抽象的模式化.“数学抽象最终表现为数学的模式化，数学模式是数学抽象的产物”；(6)从过程上看数学抽象的发展性.即“从深度上看，数学抽象是一种层次性的抽象”，从广度上看，“正因为现代数学抽象程度越来越高，它的概念与方法空前广泛地渗透到数学之外的其他领域”.骆洪才与廖六生(2001)^[8]认为数学抽象的主要表现形式有：(1)层次性.“抽象的层次越多，概括性越强，难度越大，应用就越广泛”；(2)模型化.“数学研究的不是现实世界事物的直接模型本身，而是这些模型的一般模型”；(3)理想化.在不改变物体与物体之间关系的同时可以将数学研究对象进行简化.(4)形式化、符号化.让数学显得简洁、准确、有序.在一定程度上而言，骆洪才与廖六生(2001)所认为的数学抽象的主要表现形式，亦即数学抽象的基本特征.

通过分析以上研究可知：(1)不同研究者对数学抽象特征的分析具有一定的一致性.多位研究者用相同(或相近)的词汇来描述与分析数学抽象的某些特征，并且这些词汇在其基本内涵上也是一致的.比如，郑毓信(1990)、骆洪才与廖六生(2001)都提出数学抽象的理想化特征，且其主要内涵是基本一致的.吕林海(2001)、骆洪才与廖六生(2001)所认为的数学抽象的层次性特征(一种层次性的抽象、层次性)，其基本内涵就是指数学抽象是有层次的，是逐级抽象，不断“发展”的，等等.如果结合文本进一步分析，我们会发现不同研究者关于数学抽象基本特征的一致性更大.(2)由于研究视角和研究方法不同，不同的研究者对数学抽象基本特征的描述与分析具有较大的差异性.从大的方面来说，研究者对数学抽象基本特征的分析有3性说、4性说、6性说，体现出较大的差异性与随意性.(3)有些研究过于粗率，不够深入.因此，笔者认为，非常有必要基于数学教学与数学学习对数学抽象的基本特征进行更为全面，更为深入的分析与研究.本研究中的数学抽象，既指数学抽象的方法，也指数学抽象的过程，及其所对应的数学抽象的结果.

三、数学抽象的基本特征

1.数学抽象具有价值性

数学知识是数学抽象的产物，在一定程度上而言数学抽象体现了数学(及其数学研究方法)的本质特征.因此，相对于数学知识的价值而言，数学抽象具有的价值(这里既指其学科价值，也指其教育价值)更为重要.“通过数学抽象这一构造活动，不仅可以让学生经历数学知识产生的过程，还有助于学生体会数学知识本身的量化、形式化、模式化和理想化的特点，逐步形成‘数学是关于模式的科学’的数学观和初步的‘模型思想’”.^[9]数学抽象的价值性主要体现在：(1)数学抽象具有重要的学科价值.在一定程度上而言，数学学科主要是借助数学抽象建立起来并不断发展的.数学抽象“使数学成为高度严谨、高度精确、应用广泛、结构性强的学科.”^[10].另一方面，数学抽象的不断发展，使数学学科与其他学科紧密的联系在一起.(2)数学抽象具有重要的教育价值.学生学习数学抽象不仅能培养其数学抽象的能力，而且有助于改善其思维方式，提高其思维效率，同时数学抽象可以帮助其更好地体会数学的本质等.因此，《普通高中数学课程标准》(2017年版)将数学抽象作为数学“学科核心素养”之一.“对教师而言，引导并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象，提高他们的思维水平，促进他们的智慧发展，是数学教育的重要任务.”^[11]

2.数学抽象具有客观性

数学是以抽象的方式与形式来反映客观世界的数量关系与空间形式的一门科学，具有一定的客观性.数学抽象的客观性常常表现为许多抽象的数学理论具有一定的客观现实背景，或者数学抽象的产物(即数学理论)在社会生活、科学研究中具有广泛的用途.《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿)》指出:"数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程.”^[12]从本源上来说，很多数学概念或数学理论是从现实世界客观存在的事物中，经过抽象，概括出客观事物之间的数量和数量关系、图形与图形关系.其数学抽象的过程并不是由人们凭空捏造，任意想象的，并不会因为某一个(类)人的某种观念的变化而发生改变.数学抽象的客观性还表现在数学抽象的对象与结果是客观的.数学对象并不是没有内容的，也不是与现实世界毫无关系的，从本源上来说，许多数学对象来自于现实世界.在某一数学对象及其理论被数学家创造出来之后，就像现实世界客观存在的事物一样具有一定的客观属性.另一方面，表现为数学概念，数学理论等的数学抽象的产物，其所蕴含的数学内容是有其数学基础与逻辑保障的，并不断受到数学共同体的检验.从这个角度而言，数学抽象具有一定的客观性.

3.数学抽象具有模型化特征

数学抽象是用数学语言概括地或近似地描述现实世界的事物之间的数量关系与空间形式.数学抽象离不开模型化，模型化的最终结果是构建数学模型.数学模型是“沟通数学与现实世界的桥梁”^[13].为了构建适宜的数学模型解决某一现实问题，需要对现实问题进行一定简化，忽略其次要因素，或与解决目标无关的因素，并在此基础上运用一定的数学方法，使之转化成一个数学问题.即从数学的角度，运用数学的手段，不断使一个现实问题理想化与形式化.最后，运用一定的数学方法解决相应的数学问题，并把所得到的问题的解“回带”到现实问题中进行“检验”，以分析其是否达到预设的解决目的.另外，很多时候，模型化的数学抽象过程并不是一次性完成的，而有一个逐步完善，不断精确的过程.如果在构建某一数学模型的过程中，简化(忽略)的因素太多，从而在一定程度上改变了原来现实问题的本质特征与本质结构，这时候所得的数学模型对原来现实问题的解答只能是初步的，近似的，可能远远不能满足其预设的解决目标.这时候就需要把此前简化(忽略)的某些因素重新纳入，继续构建新的数学模型，寻找新的解决问题的数学方法.理想的数学模型要求与所需要解决的现实问题完全吻合，可以100%解决其现实问题.但由于现实问题的异常复杂性，针对某一现实问题构建其理想的数学模型往往是困难的，有些甚至是不可能的.因此，在构建数学模型的过程中，往往要进行“折中”，只要能够达到预设的解决问题的目标要求，就可以认为相应的数学模型是合理的，有效的.

4.数学抽象具有形式化特征

数学抽象的最终表现形式(即数学抽象的结果)通常是高度抽象化和形式化的.数学形式化的重要组织部分和表现形式主要体现为:首先，数学符号是数学思维活动最基本的物质载体与数学思想交流与传播的重要媒介，它能够以最直观、最简明的形式来表达人们的数学思想.其次，数学符号将数学的文字语言转化为符号语言，从而为“数学理论的表述和数学论证提供了极大的便利”^[14].再次，数学抽象的重要表现形式之一是公理化.公理化即从一些预先选择的原始概念和公理出发，运用逻辑方法，构建相应的数学内容体系.数学公理化方法作为一种重要的数学方法，“可以揭示一个数学系统或分支的内在规律，从而使它系统化、逻辑化”^[15].从数学学科发展的角度而言，数学的形式化(公理化)可以精确地揭示数学命题或数学推理之间的逻辑联系，合乎逻辑地推导出相应数学内容体系.从数学教育的角度而言，数学抽象的形式化(公理化)特征可以训练学生的逻辑思维能力与抽象思维能力等.在数学教学过程中，教师应结合具体的数学内容逐步培养学生形成使用数学符号，合乎逻辑地进行数学推理的学习习惯与学习能力，并在数学教学过程中逐步渗透数学的形式化(公理化)思想，引导学生逐步感受、理解和运用形式化(公理化)思想.

5.数学抽象具有理想化特征

数学抽象是从数量关系与空间形式角度来研究事物之间的本质与规律的一种数学研究方法.在数学抽象的过程中，其所面对的数学对象往往是经过一定简化或纯化，即进行了一定的理想化.由于事物的有些属性对研究该事物的某些方面的性质没有直接的关系，或者所起到的作用可以忽略不计，为了便于研究，常常适当舍弃与研究目标无关的一些属性，建立一种高度抽象的理想客体，这就是理想化的过程.另外，从理想化的发展进程而言，理想化是一个不断深入与完善的过程.为了逐步实现数学抽象的理想化，需要数学研究者对数学抽象的对象与过程进行反复归纳、概括与提炼，从数学的角度撇开事物表象的、外部的、偶然的因素，抽出事物本质的、内在的、必然的因素.数学抽象理想化的形成过程是漫长的、不断发展的.另一方面，由于数学抽象的理想化特征，使得相关的数学理论得以简化与纯化，从而使人们更容易去认识，掌握并运用它.因此，“数学的研究必须借助于理想化，没有理想化，数学自身的向前发展将是难以想象的，有了理想化，数学的抽象才能达到高层次”^[16].

6.数学抽象具有精确性

数学抽象贯穿在数学知识的形成、产生、发展与应用的过程，具有一定的精确性.在一定程度上体现了数学知识的本质特征，揭示了数学知识之间的普遍联系，并使由此而得到的数学知识的概括性更强，抽象程度更高，应用性更广等.另外，数学抽象的精确性，还体现在它要求我们必须要用严谨而合理的数学基础，以及合乎规范的推理过程来保证由数学抽象而得到的数学知识的精确性.换言之，“数学概念的精确性与推理逻辑的严谨性成就了数学结论的精确性和逻辑必然性”^[17].另外，由于数学知识是客观的、具体的(数学知识被数学家创造出来，并经数学共同体确认之后，就具有了一定的客观性)，而数学抽象作为一种重要的数学研究方法，却是灵活的，并具有一定精确性.因此，掌握某类数学知识相对而言是较为容易的，但是对数学抽象的掌握与运用，却需要较长时间的学习与理解，并基于具体的数学学习内容与数学学习过程，逐步加深对相应数学抽象过程与数学抽象方法的理解与掌握程度.“按通常情况下学生学习时认知的先后顺序，把数学抽象分为感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化等5个阶段”^[18].应结合具体的数学内容与数学教学过程，以螺旋上升，逐步深入的方式，引导学生逐步经历与感悟，理解与运用数学抽象的以上阶段.

7.数学抽象具有纯粹性

数学抽象是数学教学中一种经常性、普遍性的思维活动,也是数学活动中最基本、最重要的思维方法之一，具有一定的纯粹性.数学抽象的纯粹性在于它只是纯粹的考虑事物与现象的数量关系和空间形式，同时完全舍弃事物和现象的其他一切属性，对事物与现象进行定量的分析.“这种特殊的抽象内容正是数学与其它科学的根本区别”^[19].数学抽象的纯粹性不仅体现在数学抽象的内容上，更体现在数学抽象的方法上.数学抽象的对象是通过逻辑建构这一方法所获得的，而“数学对象的逻辑建构借助于纯粹的数学语言(和逻辑语言)”^[20]正是这种“纯粹”的数学抽象的内容与方法，在一定程度上保证了数学理论的精确性，逻辑性、严谨性，等等.另外，数学抽象的纯粹性，还体现在其所达到的特殊高度.数学抽象的抽象对象，并非像其他学科那样全部依赖于客观世界的事物，更有一部分抽象对象是为了让人们更好地去理解其他事物或现象，由人们的思维直接创造而成的.“数学抽象的这种高度纯粹性，决定了它的抽象程度远高于其它学科的抽象”^[21].

8.数学抽象具有发展性

数学抽象的发展性，一方面表现为数学抽象是具有层次性的，即对数学对象的抽象是逐级抽象，逐步完善，不断发展的.无论是在数学学习过程中，还是在数学发展过程中，数学抽象一直在不断地深入与丰富.具体表现为数学学习与研究过程都是从基础到复杂；从具体的事物到抽象的事物，再从初步抽象的数学结果抽象出更为抽象的数学结果.随着抽象层次的不断提高，数学不断地向更高(高维的，多变量的)的抽象层次发展，使“它包含的内容更深刻、更远离具体现实世界，从而应用与适用的范围也越来越广”^[22].另一方面，数学抽象的发展性表现为学生对数学抽象的认识与理解是逐步深入的，其数学抽象能力是逐步提高与发展的.随着学生对数学抽象对象、数学抽象过程，以及由此而产生的数学抽象结果的深入理解，其对数学抽象的认识不再固执于它的某一方面，而是综合考虑数学抽象各方面的本质特征，以及它们之间的内在联系和相互作用等.