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典型例题分析1： 如图（1），一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°． （1）求AO与BO的长； （2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．如图（2），当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长． 解：（1）在Rt△AOB中， ∵∠AOB=90°，∠α=60°． ∴∠OAB=30°， 又AB=4（米）， ∴OB=AB/2=2（米），OA=AB×sin60°=4×√3/2=2√3（米）． （2）∵点P和点P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，∴PA=PO，P′A′=P′O， ∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′． ∴∠P′A′O﹣∠PAO=∠POP′=15°． ∵∠PAO=30°， ∴∠P′A′O=45°． ∴A′O=A′B′×cos45°=4×√2/2=2√2． ∴AA′=OA﹣A′O=（2√3-2√2）米． 典型例题分析2： 随着近几年我市私家车日越增多，超速行驶成为引发交通事故的主要原因之一．某中学数学活动小组为开展“文明驾驶、关爱家人、关爱他人”的活动，设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点P，在笔直的车道m上确定点O，使PO和m垂直，测得PO的长等于21米，在m上的同侧取点A、B，使∠PAO=30°，∠PBO=60°． （1）求A、B之间的路程（保留根号）； （2）已知本路段对校车限速为12米/秒若测得某校车从A到B用了2秒，这辆校车是否超速？请说明理由． 解：（1）在Rt△AOP中，∵PO=21米，∠PAO=30°， ∴AO=PO/tan30°=21/（√3/3）=21√3（米）； 在Rt△BOP中， ∵PO=21米，∠PBO=60°， ∴BO=PO/tan60°=21/√3=7√3（米）， ∴AB=AO﹣BO=14√3米； （2）这辆校车超速；理由如下： ∵校车从A到B用时2秒， ∴速度为14√3÷2=7√3（米/秒）＞12米/秒， ∴这辆校车在AB路段超速． 典型例题分析3： 如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（√3≈1.73，结果精确到0.1米） 解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=AG/FG， ∴FG=AG/tan∠ACG=AG/√3， 在Rt△ACG中，tan∠ACG=AG/CG， ∴CG=AG/tan∠ACG=√3AG． 又∵CG﹣FG=24m， 即√3AG﹣AG/√3=24m， ∴AG=12√3m， ∴AB=12√3+1.6≈22.4m． 考点分析： 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 题干分析： 利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.6m即为主教学楼的高度AB． 典型例题分析4： 已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： （1）坡顶A到地面PQ的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01） 解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H． ∵斜坡AP的坡度为1：2.4， ∴AH/PH=5/12， 设AH=5km，则PH=12km， 由勾股定理，得AP=13km． ∴13k=26m． 解得k=2． ∴AH=10m． 答：坡顶A到地面PQ的距离为10m． （2）延长BC交PQ于点D． ∵BC⊥AC，AC∥PQ， ∴BD⊥PQ． ∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH． ∵∠BPD=45°， ∴PD=BD． 设BC=x，则x+10=24+DH． ∴AC=DH=x﹣14． 在Rt△ABC中，tan76°=BC/AC，即x/（x-14）≈4.0， 解得x=56/3，即x≈19， 答：古塔BC的高度约为19米． 考点分析： 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 题干分析： （1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可； （2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=BC/AC，求出即可． |
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