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学习勾股定理的时候，课本通常给出的一个图形就是一个直角三角形的三边向外作三个正方形。通过这个图形得出勾股定理。 利用作图工具如几何画板等，不断往外继续构造，就会形成如下图所示的勾股树。 数学也是和艺术、美紧密关联。 本文今天介绍的题目，依然来自黑龙江地区的中考真题。还是倒数第3题，难度不算大。但是这个图形非常典型常见，所以依然有必要给大家呈现出来。 【中考真题】 （2020·七台河）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N． （1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN； （2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由． 【分析】 一个三角形往外构造两个相似的图形，这样的模非常常见。 也可以说成是“共点双正方形”。如果换成等腰直角三角形、等边三角形、菱形等都是可以的。会产生很多结论。 题（1）比较特殊，是等腰直角三角形往外构造两个正方形，易得他们是全等的正方形，那么△AEG就是等腰直角三角形，容易得到AN是∠EAG的平分线，所以EN与EG必然相等。 那么题（2）就是在（1）的基础上面变形，由特殊到一般的过程。 如何证明两条线段相等呢？ 一般可以考虑用全等或者等腰的方式进行证明。 本题中出现的比较多的是直角，可以考虑构造三垂直。 此时，易得△AEP≌△BAM，及△AQG≌△AMC。然后再证明△EPN与△GQN全等即可。 图3有了图2的基础，用一样的方法就可以得到结论了。 本题的图比较特殊，其实证明的方法还是有多种的。比如下图。 继续延长MA，与过点E作AG的平行线EO交于点O。我们就可以得到红色的两个三角形全等了，进而得到四边形EOGA其实是平行四边形，对角线自然平分了。 【答案】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝45°， ∵AM⊥BC， ∴∠MAC＝45°， ∴∠EAN＝∠MAC＝45°， 同理∠NAG＝45°， ∴∠EAN＝∠NAG， ∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形， ∴AE＝AB＝AC＝AG， ∴EN＝GN． （2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立． 理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q， ∵四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠EAP， 在△ABM和△EAP中， ∠ABM=∠EAP，∠AMB=∠P=90°，AB=AE， ∴△ABM≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AM， 同理可得：GQ＝AM， ∴EP＝GQ， 在△EPN和△GQN中， ∠P=∠NQG，∠ENP=∠GNQ，EP=GQ， ∴△EPN≌△GQN（AAS）， ∴EN＝NG． 如图2，∠BAC≠90°时，（1）中结论成立． 理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q， ∵四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠EAP， 在△ABM和△EAP中， ∠ABM=∠EAP，∠AMB=∠P=90°，AB=AE， ∴△ABM≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AM， 同理可得：GQ＝AM， ∴EP＝GQ， 在△EPN和△GQN中， ∠P=∠NQG，∠ENP=∠GNQ，EP=GQ， ∴△EPN≌△GQN（AAS）， ∴EN＝NG． 【总结】 本题的本质其实是两个有公共顶点的正方形。其中有很多相等的边与角，常常容易利用SAS来证明三角形全等，进而得到结论。 也就是大家平时常说的手拉手模型。 |
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