【原】【高考数学】每日一题：第740题，正弦定理有关的综合题讲解

典型例题分析1：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=1/3，a=3，c=4，则sinA=（　　）

A．2/3

B．1/4

C．3/4

D．1/6

解：∵A+B+C=π，

∴sin（A+B）=sinC=1/3，

又∵a=3，c=4，

∴a/sinA=c/sinC，

即3/sinA=4/（1/3），

∴sinA=1/4，

故选B．

考点分析：

正弦定理．

题干分析：

由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=1/3，再利用正弦定理求解．

典型例题分析2：

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜π/2）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为（7π/3，-√3）和（13π/3，√3）

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=√3，a=3，求△ABC周长的取值范围．

解：（1）由题意得：A=√3，T/2=13π/3﹣7π/3=2π，T=4π，ω=1/2，

由√3sin（1/2×π/3+φ）=√3，

可得：1/2×π/3+φ=2kπ+π/2，

∵|φ|＜π/2，φ=π/3，

∴函数表达式：f（x）=√3sin（x/2+π/3），

（Ⅱ）∵f（A）=√3sin（A/2+π/3）=√3，sin（A/2+π/3）=1，

A∈（0，π），A/2+π/3∈（π/3，5π/6），可得：A/2+π/3=π/2，解：A=π/3，

由正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC=3/（√3/2）=2√3，

三角形的周长L=a+b+c=b+c+√3=2√3sinB=2√3sinC+3，

=2√3[sinB+sin（2π/3﹣B）]+3，

=2√3（sinB+√3/2·cosB+sinB/2）+3，

=2√3（sinB+sin（2π/3﹣B）+3，

=6sin（B+π/6）+3，

∵0＜B＜2π/3，

∴1/2＜sin（B+π/6）≤1，

∴6＜6sin（B+π/6）+3≤9，

△ABC周长的取值范围（6，9]．

考点分析：

正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．

题干分析：

（Ⅰ）由正弦函数的性质，求得A及T的值，ω=2π/T，求得ω，将（13π/3，√3）代入求得φ的值，即可求得函数表达式；

（Ⅱ）根据正弦定理求得角A值，b、c关系，L=a+b+c=6sin（B+π/6）+3，根据正弦函数最值，求得L的取值范围．

典型例题分析3：

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=√3，且b2+c2=3+bc．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）求bsinC的最大值．

考点分析：

余弦定理；正弦定理．

题干分析：

（I）由余弦定理可得：cosA=（b2+c2-a2）/2bc=（3+bc-3）/2bc=1/2，即可得出．

（II）由正弦定理可得：可得b=asinB/sinA，可得bsinC=2sinBsin（2π/3-B）=sin（2B-π/6）+1/2，根据B∈（0，2π/3）即可得出．

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