【原】【高考数学】每日一题：第741题，立体几何有关的综合题讲解

典型例题分析1：

如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF，AB=AE=1，AF⊥BE．

（1）求证：AF⊥平面BDE；

（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

证明：（1）∵AE∥CF，

∴四点ACFE共面．

如图所示，连接AC，BD，相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴对角线BD⊥AC，

∵AE⊥平面ABCD，

∴AE⊥BD，又AE∩AC=A，

∴BD⊥平面ACFE，

∴BD⊥AF，

又AF⊥BE，BE∩BD=B，

∴AF⊥平面BDE，

AF⊂平面BAF，

∴平面BAF⊥平面BDE．

解：（2）取BC的中点M，∵∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC，又BC∥AD，

∴AM⊥AD，建立空间直角坐标系，

考点分析：

二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

题干分析：

（1）由AE∥CF，可得四点ACFE共面．如图所示，连接AC，BD，相交于点O，利用菱形对角线的性质及其线面垂直的判定及其性质可得：AE⊥平面ABCD，可得BD⊥平面ACFE，BD⊥AF，可得AF⊥平面BDE，即可证明．

（2）取BC的中点M，推导出AM⊥BC，AM⊥AD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

典型例题分析2：

如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．

（1）求证：DG⊥EF；

（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；

（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．

证明：（1）∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，

∴EF⊥DF，EF⊥AF，

又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，DF∩AF=F，

∴EF⊥平面ADF，

∵DG⊂平面ADF，

∴DG⊥EF．

（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，

∴△ADF是等边三角形，

∵G是AF的中点，

∴DG⊥AF．

又EF⊥DG，EF，AF⊂平面ABEF，AF∩EF=F，

∴DG⊥平面ABEF．

设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，

以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：

则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，√3），F（﹣1，0，0）．

考点分析：

直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．

题干分析：

（1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；

（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值；

（3）设P（0，0，k）（0≤k≤√3），（0≤λ≤1），求出的坐标，得出k与λ的关系，得出关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．

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