在牛顿和莱布尼兹发明微积分之前,数学家费马,沃利斯,卡瓦列里就已经解决了X^n曲线下的面积,他们的方法今天看来,仍然是非常巧妙的,美妙的数学思想源于一颗伟大的数学头脑,今天我们就来欣赏业余数学之王费马的方法 第一:现代方法 如下是X^2,X^3,X^4的指数函数图形, 一般的函数公式就是 用现代书本上黎曼求和的方法进行细分 结合牛顿-莱布尼兹公式得到 这是现代教科书上的方法,看上去很简单 第二:费马的方法 费马首先引入了几何级数的概念,如下图 上述的几何级数源于如下公式 费马将X^n曲线划分成不相等的区间,而且是使用几何级数来确定每个小矩形的宽度,如下图,且0<r<1 那么每个矩形的宽度就是:它们是按几何级数增长 接着确定每个矩形的高度,如下图:带入X^n公式得到 这样每个矩形的面积就是 把所有小矩形的面积加起来就是X^n图形下的面积,其结果取决于r 由费马引入的几何级数求和得到 化简上述表达式,得到 当r无限趋近1时,上述表达式的分母就等于n+1,所以费马就得到了X^n曲线下的面积,这和微积分公式所得到的结果完全一致 |
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