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【声明】本文由B站作者《我真的不懂分析》授权发表。转载请注明出处！ 这些视频制作者大都是从自身经历出发在谈论这个专业，他们有高中数学老师、竞赛辅导老师、教育咨询机构的老师、高校的招生工作人员、数学系在读学生、数学系毕业生等等等等。因为各人经历不同，自然会谈出很多很不一样的东西来。我作为大学数学老师，接下来要讲的东西肯定跟他们也会有很多不一样的地方。需要提醒大家的是，网上的人只能给出属于他们自己的看法，这也包括我在内。我们没有办法从你自身的实际出发帮助你做出决策，做决策的只能是你自己。所以，在做决策之前，一定要多听、多看、多想，了解过各方说法之后，综合所有这些信息，做出属于你自己的判断。
1. 数学是什么？ 这是官方说法，那不官方的说法是什么？比如我自己的看法是这样的：数学系的首要培养目标是培养数学家，但是我们也清楚并不是每个进入数学系的人最终都能成为数学家，这些不能成为数学家的同学总得有个出路，所以就有了第二个培养目标。数学系的很多老师其实都持跟我类似的观点，只是他们不说。所以大家以后跟数学系老师打交道时要特别留意你们的言语，不要不小心触了雷还不自知。比如我在参加各种面试时经常会听到来自学生的这样的说法：“我对纯数学没有什么兴趣，只想打好数学基础，然后转金融。”这位同学不知道的是，当他这么说的时候，面试的老师们可能已经把他判死刑了。 好了，明确了数学系的培养目标之后，我们就能谈谈数学系到底学什么了。答案当然就是为了培养数学家而设计的一些课程。首先有十门基础课，具体包括：数学分析123、线性代数12、抽象代数、常微分方程、实分析、复分析、概率论。接下来你需要根据你感兴趣的方向修满某一方向的专业核心课。比如基础数学方向需要修泛函分析、偏微分方程、拓扑学和微分几何，而应用数学方向则需要泛函分析、偏微分方程、数值分析和应用分析等等。最后，在你选择的专业方向中，你还需要修满一定学分的专业选修课，这种课程很多，我在这就不列举了。当然我这里介绍的只是我们学校的情况，其它学校的数学系培养方案肯定会有所不同，不过应该是大同小异的。这些信息都是公开的，只要你有心，就都能查到，接下来，我讲点不公开的。刚才我提到，我们系的专业方向包括基础数学和应用数学，除此以外，还有概率统计、计算数学、运筹学与控制论三个方向。其实后面三个都算是广义的应用数学，所以数学系的专业基本上就两个，基础数学和应用数学，这也是这个专业的名字“数学与应用数学”的由来。很多人有一种印象，似乎基础数学就是培养数学家的，而应用数学就是培养数学用户的。还有人认为，似乎基础数学就是很难的，而应用数学则相对比较简单。这些印象都是完全错误的。大家一定要明白：应用数学也是数学，应用数学方向培养出来的人也是数学家，应用数学和基础数学一样难。甚至就连基础数学和应用数学的这种划分都是错的，真正的数学只有一个，那就是——数学。 为什么这么说呢？首先我们得搞清楚，所谓基础数学和应用数学真正的区别在哪里。这种划分并不是说所有数学分支可以分成两类，一类属于基础、另一类属于应用。这是完全错误的认识。它们真正的区别在于问题的来源：基础数学所研究的问题来自数学本身，而应用数学所研究的问题来自数学以外的其它学科。这些不同来源的问题可能表面上不一样，但是它们往往在本质上是一样的问题。既然本质上是一样的问题，那么我们就没有必要去区分它到底是来自数学本身、还是来自其它学科。这就是我说的，真正的数学只有一个的意思。我可以举出很多例子来说明这个道理。比如我们都很熟悉的杨振宁先生。他本人是物理学家，但是数学很好。他最出名的工作应该是和米尔斯合作的规范场论，提出的时间大概是上世纪五十年代。当时他出去作报告，现场有数学家说：“哦，弗兰克，你太厉害了，数学家们刚刚搞出来的纤维丛理论马上就被你应用到理论物理中了。” 杨先生的文集中，有一幅插图生动地表达了他对数学和物理之间关系的看法。图上是两片根部交叠在一起的树叶。他的解释是，有些结构，既出现在数学中、又出现在物理中，虽然本质上相同，但是却会在各自的领域中长出看起来完全不同的东西。基础数学和应用数学的关系也是类似的，表面上不同，但本质上是等价的。我还可以从另一个角度来论证为什么数学是一个整体，而不是割裂的。那就是看看最近二、三十年菲尔兹奖得主们到底做的是什么。这些人的工作毫无疑问代表了现代数学的主流方向。比如丘成桐先生，他是1982年的菲尔兹奖得主。获奖的原因，一个是证明了卡拉比猜想，这是基础数学中的问题；另一个则是正质量猜想，这是来自广义相对论的一个物理问题。为什么他能做到这一点？这是因为，丘先生真正的贡献是把分析方法应用到了几何领域，由此开创了几何分析这个分支。至于卡拉比猜想和正质量猜想，其实都是几何分析思想的应用而已。丘先生最近一些年还和他的学生们开创了另一门分支，叫计算共形几何。这个新分支中用到的数学属于黎曼曲面及其模空间这个基础数学中的分支，这也是现代数学中的一个非常重要的研究方向。而它的应用则包括模式识别、医学成像、电影特效等等领域。他们团队最近的一项重要工作是将这项技术用于直肠癌的CT检测，取得了很好的效果。我们再来看另一位大佬，Edward Witten，1990年菲尔兹奖得主。他的经历非常传奇：本科主修历史、辅修语言学，本科毕业后曾短暂地参与过某位民主党候选人的总统竞选工作，之后作为经济学研究生回到学校，一学期后转为应用数学，后又转系到物理系，最终获得物理学博士。Witten在理论物理领域的工作使他成为超弦理论的领军人物，然后同样是因为这些工作，让他拿到了数学界的最高奖菲尔兹奖。 Witten之后的很多菲尔兹奖得主的得奖原因都和Witten的工作有关，比如M. Kontsevich（1998）、A. Okounkov（2006）、M. Mirzakhani（2014）等等。 压缩感知是什么咱们在这就不多说了，简单地说就是信号处理领域的一个分支。这个分支在陶哲轩进入之前已经快要死掉了，可以说正是由于陶哲轩及其合作者们的工作，使得这个领域又起死回生了。为什么陶哲轩能够做到这一点？就是因为压缩感知里用到的数学跟陶哲轩本来就擅长的那些分析技术，比如说傅里叶分析、随机矩阵等等，本质上就是一样的。像这样的例子我们还可以列举很多。去年我教《数学分析（一）》的时候，前几节课就在介绍这些菲尔兹奖得主们在基础领域和应用领域反复横跳的故事。我的这个介绍可能实在是太长了，以至于在那个学期的教学评估问卷中，我的学生们反映最多的问题就是，能不能把前面这些故事压缩一下。另一方面，大家也不要形成这样的印象，好像总是基础数学做的好的人把他研究的东西拿到应用领域应用一下就能得到好东西。事实并非总是如此，也有反过来的情况。几年前我听过一个报告，报告人是一个非常厉害的年轻华人数学家，讲的是我完全不懂的数论问题。他在他所研究的数论问题中引入了一个概率密度，然后定义了一些用希腊字母表示的指标，最后利用这些希腊字母解决了他的问题。在报告的最后，他给大家介绍了他的这个想法到底是怎么来的。原来他的太太是做金融的，他和她太太经常讨论金融数学问题。在金融领域有一些用于衡量投资风险的指标，用希腊字母表示，大家就把这些指标叫希腊字母。这位数论学家所用的希腊字母就是从她太太那里学来的风险评估指标。所以你看，即使是最庸俗的金融数学也有应用于最高贵的数论的可能性。在我要讲的第一部分的最后，我再提醒一下各位有志于从事数学研究的青年学子：数学是一个整体，不要有门户之见。很多初学数学的人对数学的各个分支存在一些偏见，比如认为代数和几何是高贵的，然后鄙视分析。这是完全错误的。事实上，只要你稍微深入地学习一点几何，就会发现几何离不开分析。代数也是一样，好的代数都离不开几何，而几何，我们刚才说过了，几何离不开分析。现代数学的各个分支是以一种非常复杂的方式纠缠在一起的，你在任何一个分支里都可能用到完全想象不到的另一个分支的内容。比如前几年比较热门的一个新闻是，一位韩国的少年利用代数几何中的某些工具解决了组合领域悬而未决多年的一批猜想。 现在有很多同学在中学阶段接受了过多的数学竞赛训练，以至于他们只了解数学竞赛中用到的那点初等数学，并不了解数学的全貌。比如我就遇到过很多中学生，他们声称喜欢组合数学，想在今后从事组合数学方面的研究。这种宣言给我的感觉就像是你跟一个妹子表白，说我想跟你的手过一辈子一样，重点完全搞错了好吗？所以，大家在数学系学习的时候一定要重视每一门课，不要凭自己的好恶给自己添加不必要的限制。你给自己的限制越少，你以后的路就会越宽。丘成桐先生在很多场合都说过，年轻人要想成为好的数学家，至少要掌握两个分支。如果你去看那些拿了菲尔兹奖的大数学家，很多人都是掌握多门分支的，这也是他们能够做出杰出工作的原因。好，以上就是我要讲的第一部分，数学是什么，以及在数学系学什么。 2. 什么人适合学数学？ （未完，待续） （5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。
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