|
壹 重要结论与公式 ◆ 定理1 向量组α1, α2,…, αn线性相关(无关)的充要条件是向量组中至少有一个(任一)向量可由(均不能)其余s-1个向量线性表出. ◆ 定理2 向量组αj=(α1j, α2j,…, αnj)(j=1,2,…,s)线性相关(无关)的充要条件是齐次线性方程组 有非零解(唯一零解). ◆ 定理3 向量组α1, α2,…, αn线性无关，向量组α1, α2,…, αn，β线性相关，则β可由α1,α2,…, αn线性表出,且表法唯一. ◆ 定理4 向量组(I)β1,β2,…,βn中的每一个向量均可由向量组(II)α1, α2,…, αm线性表出，且n>m，则向量组(I)β1,β2,…,βn线性相关(以少表多，则多相关)；反之，若(I)中每一个向量均可由(II)表出，且(I)线性无关，则s≤t. ◆ 向量组等价 如果(I) α1, α2,…, αn和(II)β1,β2,…,βn可以互相线性表出，则成两向量组等价，且记作(I)≅ (II). ◆ 三秩相等 r(A)=A的行秩(A的行向量组的值)=A的列秩(A的列向量组的值) ◆ 初等变换不改变矩阵的秩 设P1，Q1为初等矩阵，P，Q为可逆矩阵，则 (1) r(A)=r(P1A)=r(AQ1)=r(P1AQ1) =r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)； (2) PAQ=B⇔A≅ B⇔r(A)= r(B)； (3) 若A经过初等行变换得到B，则A的行向量组与B的行向量组是等价向量组； (4) 若A经过初等行变换得到B，则A和B的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性. ◆ 有关等式与不等式 设A是m×n矩阵，B是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则 ◆ 施密特正交化公式 如果向量αTβ=0，则称向量α，β为正交向量. 设α1,α2,…,αn为线性无关组，则其对应的正交向量组可按如下公式求： 得到β1,β2,…,βn为正交向量组，将该向量组单位化，则得到一组标准正交向量组. ◆ 过渡矩阵 设α=(α1,α2,…,αn)与β=(β1,β2,…,βn)是Rn的两组基，如果有β=AαT，则A称为过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆矩阵. ◆ 正交矩阵 设A是n阶方阵，满足AAT=E或ATA=E，则称A为正交矩阵. A是正交矩阵，AT=A-1⇔A的行(列)向量组是标准正交向量组. ◆ 正交变换 设A是正交矩阵，则称y=Ax为正交变换，正交变换保持向量的内积不变，即保持向量的长度和两向量的夹角不变. 贰 常见题型分析 (1) 有关向量的概念及其性质的命题 解题方法： ● 向量的线性组合，向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组，向量空间的基，一定记熟. ● 重要定理，如增加向量不改变相关，增加分量不改变无关，等价向量组等秩，被表出的无关组的秩不超过表出组向量个数。 ● 两个向量组是否等价一般通过研究它们的极大线性无关组是否等价入手. (2) 有关线性组合的判别与证明的命题 解题方法： ● 判别向量α是否为向量组β1,β2,…,βs的线性组合的过程：令α=k1β1+ k2β2+…+ksβs；并写出等价的线性方程组；若方程组无解，则不能线性表示，若方程组有解，则可以线性表示. ● 有关线性组合或线性表出的证明题解题思路： 想要证明β可以由α1,α2,…,αs线性表示，只要证明表达式k1α1+ k2α2+…+ksαs+ ks+1β=0中ks+1≠0即可. 证明方程组 有解. ● 用反证法或极大线性无关组法. (3) 向量线性相关性的证法 证明方法： ●定义法，过程为：首先令 然后将其展开整理，使之能直接利用题设条件，判别k1,k2,…,km的取值情况，从而得出向量组线性相关或无关。 ● 方程组方法：将线性相关性的问题转化为齐次线性方程组有无零解的问题来分析。 ● 反证法 (4) 求向量组的极大线性无关组及向量组秩的有关命题的证明 解题方法： ● 求极大线性无关组的方法：利用矩阵行的初等变换(且不可用列的初等变换). 解题过程为：首先以向量组各向量作为矩阵的列；对构成的矩阵施行行的初等变换，将矩阵化为阶梯型矩阵；阶梯型矩阵中，每一台阶取一列，则对应的向量构成的向量组即为极大无关向量组。 ● 极大线性无关组的证明方法：定义法(即要证明两点：所给的部分组线性无关；向量组中任一向量可由该部分组线性表出)；利用等价性证明(若已知某向量组为向量组T的极大无关组，且可证明向量组T的部分组与某向量组等价，则可证该部分组为向量组T的极大无关组) (5)求过渡矩阵与向量的坐标 解题方法： 设α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是n维向量空间Rn的两组基，则由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的变换公式 Q称为由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵，且有 (6)有关正交矩阵的证明 解题方法： 用定义证明，即验证AAT=E或ATA=E. |
|
|
