一、两向量的数量积及其应用 1.向量的数量积 向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)的数量积为 其中θ为向量a与b之夹角,规定0≤θ≤π. 2.向量的数量积运算规律 (1) 交换律 a∙b=b∙a; (2) 结合律 (λa)∙b=a∙(λb)= λ(a∙b ); (3) 分配律 (a+b)∙c= a∙c + b∙c; (4) a∙a=| a|2(模的计算转换为数量积) 3.两向量的夹角 两非零向量a与b的夹角余弦计算公式为 4.两向量垂直位置关系的判定 【注】:零向量与任何向量垂直. 5.向量积的物理应用 常力F拉物体沿位移S所做的功W为: W=F∙S 二、两向量的向量积及其应用 1.向量积的定义 两向量a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)的向量积定义 【注】:两向量的数量积为一个数量,而两向量的向量积为一个向量. 关于向量a,b的向量积,有: (1) aⅹb与a,b分别垂直; (2)a,b与aⅹb服从右手法则(将两向量平移到同一起点,四个手指指向向量a,以不超过180度转向到向量b,则大拇指方向为向量积方向); (3)|aⅹb|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a,b间的夹角. 2.向量积的运算律 (1) 反交换律aⅹb=- bⅹa;; (2) aⅹa=0; (3) 结合律 (λa)ⅹb=aⅹ(λb)=λ(aⅹb),其中λ为实数; (4) 分配律 (a+b)ⅹc=aⅹc+bⅹc. 3.向量积的几何应用
4.向量积的物理应用 设O为一根杠杆L的支点,有一个力F作用于这杠杆上点P处,则力F对支点O的力矩M为 三、向量的混合积及其应用 1.向量的混合积 设有三个向量 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), c=(c1,c2,c3), 则称向量(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积,记作[abc],并有 根据行列式的运算性质,可得向量的混合积满足轮换性,即 2.混合积的几何应用 (1) a,b,c共面⇔[abc]=0⇔存在不全零的数λ,μ,γ,使得 λa +μb +γc=0. (2) 空间四点A,B,C,D共面 (3) 以a,b,c为棱的四面体体积为: (4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为: 四、三向量的外积 1.二重外积公式 对任意向量a,b,c,有 该公式也称为三向量的双重向量积. 2.双重向量积的几何关系 考课件节选: |
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