【原】典型习题：(120120)曲线积分应用之最大作功问题

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习题解答

相关小结

“曲线积分应用之最大作功问题”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．变力作功

变力沿曲线作功，在数学上对应的数学模型就是对坐标的曲线积分，即有

对于平面力场和平面运动路径：

对于空间向量场与空间运动路径：

因此平面力场中沿曲线路径L作功的计算公式为

空间力场沿曲线路径路径Γ作功的计算公式为

2．条件极值相关的概念

在实际中会遇到求一个函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，我们称之为条件极值问题．通常，称函数f(x,y)为目标函数，方程g(x,y)=0为约束条件，变量x,y为决策变量．相应地，把求一个函数的，只有定义域限制的（不带条件的）极值问题为无条件极值问题．

3．二元函数条件极值的求解方法

条件的极值问题的求解方法为无条件化的方法：

(1) 一种是通过约束条件降元转换为无条件极值，也称为代入法：

(2) 一种方法是增元的方法，即拉格朗日乘子法：

对于求函数f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数

将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度等于0，即

对于求函数f(x,y,z)在条件g₁(x,y,z)=0与g₂(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数

将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度等于0．

4．闭区域上连续多元函数最值的求解步骤

第一步：找目标函数，确定定义域及约束条件；

第二步：找出所有可能的驻点，驻点包括由区域内部利用无条件极值得到的驻点和边界上由条件极值得到的驻点；

第三步：比较所有驻点的函数值，同时还需要考虑边界曲线的端点或者说尖点位置的函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。

【注】如果最值问题中的极值点只有唯一驻点，并且根据问题的实际意义存在最值位置，则一般不需要判定，直接可以断定所求驻点就为最值点，对应的函数值就是所求最值。