【原】《无穷小的比较与渐近线》内容小结、题型、典型题与参考课件

一、无穷小及其基本性质

(1)无穷小(量)是自变量的某个变化过程中极限为0的函数；

(2)除0外，其他任何常值函数都不是无穷小量。

(3)函数，函数极限与无穷小的关系：

【注】这个性质给出了极限式中的抽象函数的一种相对具体的描述形式，借助f(x)的这种描述形式，使得与之相关问题的解决更加直观、有效！同时，看到一个函数极限存在的条件，要记得极限式可以写成以上描述形式，为问题解决提供一种可能的探索思路或方向。

(4)有限个无穷小的和与有限个无穷小的积仍然是无穷小。

【注】无限个结果就不一定成立。 

(5)有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小. 

二、无穷大及其基本性质

(1)无穷大是自变量的某个变化过程中函数值整体无限增大！

(2)无穷大分为正无穷大与负无穷大，一般用前面带正负号标记区别+∞，-∞。如果函数值在某个变化过程中即趋于正无穷大，也趋于负无穷大，比如1/x在x→0时，两侧同时趋于无穷大，只不过左侧趋于负无穷大，右侧趋于正无穷大，则一般记作∞。

(3)验证一个函数是某个自变量变化过程中的无穷大最有效的方式是验证它的倒数为该自变量变化过程中的无穷小量，即极限等于0.

(4)某变量变化过程的无穷大与有界函数之和仍是该过程的无穷大．

(5)某变量变化过程的无穷大与该过程极限值为非零值的函数的乘积仍是该过程的无穷大．

(6)无穷大与无界函数的区别与判定

●如果有一个子变化过程，使得函数值趋于某个确定的值，则该函数不是该变化过程中的无穷大；

●如果有一个变量的子变化过程，使得函数值趋于无穷大，则该函数是无界函数。

●如果函数是某个自变量变化过程的无穷大，则它一定无界；无界函数不一定自变量的变化过程使得函数值趋于无穷大. 

三、无穷小的比较

高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小

【注】定义、判定见后面列出的课件. 

三、等价无穷小性质及计算极限应用

定理1：f(x)与g(x)是等价无穷小的充分必要条件是

f(x)=g(x)+o(g(x)).

定理2：如果f₁(x)~ f₂(x)与g₁(x)~g₂(x)且lim(f₂(x)/ g₂(x))的极限存在，则lim(f₁(x)/ g₁(x))极限也存在，并且有

lim(f₁(x)/g₁(x))=lim(f₂(x)/ g₂(x)).

【注1】两个无穷小之比求极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替。由于f₁(x)~ f₁(x)，g₁(x)~g₁(x)，所以以上极限计算等式也可以只替换分子、或者只替换分母来求极限。

 【注2】以上结论也适用于极限趋于无穷大的情形；

 【注3】用等价无穷小替换计算极限的过程一般适用于相乘、相除因式整体用等价无穷小替换（因式替换原则）；对于等价无穷小加减运算，一般两个等价无穷小相减不能替换；非等价无穷小相减，或等价无穷小相加一般可以替换（加减替换原则）。

 【注4】记住常用的几个等价无穷小(见课件列表)  

四、函数描述的曲线渐近线求解步骤

●水平渐近线

一个函数f(x)的水平渐近线可能的条数为：0，1，2

条数为0：以上两个极限都不存在，比如f(x)=x；

条数为1：以上两个极限有一个存在，或者两个都存在，但是极限值相等，比如f(x)=1/x；

条数为2：以上两个极限都存在，并且极限值不相等，比如f(x)=arctanx；

函数f(x)描述的曲线的水平渐近线为函数值等于极限值的常值函数对应的水平直线。 

●铅直渐近线

一个函数f(x)的铅直渐近线可能的条数为：0，1，2，…无数条

如果在函数f(x)的定义域上（包括没有定义的定义区间端点），对于其中的x_k，上面的左右极限只要有一个极限趋于正无穷大，或者负无穷大，则x=x_k对应的铅直线就为函数f(x)描述的曲线的铅直渐近线。

 比如f(x)=1/x，有一条铅直渐近线x=0；另外如f(x)=tanx，有无穷条铅直渐近线，即所有使得cosx=0的x值对应的铅直线。 

●斜渐近线

一个函数f(x)的斜渐近线可能的条数为：0，1，2

如果以上k值不等于0，且不相等，则有2条；如果仅有一个存在且不等于0，则只有1条；如果两个都等于0，或者极限都不存在，则0条. 如果有斜渐近线，则对应的斜渐近线方程为y=kx+b。

 【注】曲线可以与渐近线相交。如f(x)=sinx/x描述的曲线有水平渐近线y=0，它在自变量从两个方向趋于无穷大的整个变化过程中都与渐近线有交点.  

五、求一元函数y=f(x)描述的曲线的渐近线的基本思路与步骤：

(1) 求出函数的定义域，并明确所有的定义区间的有限边界点x_k或分段函数的分界点；

(2) 分别判定并计算x趋于正无穷大、趋于负无穷大函数f(x)的极限，判定是否具有水平渐近线；如果极限存在，则水平渐近线方程为y=极限值；水平渐近线的条数可以为0，1，2。

(3) 对所有定义区间的x_k求或判定左右极限的存在性，如果对于边界点x_k左右极限有一个趋于无穷大，或正、负无穷大，则该边界点对应的方程x=x_k即为铅直渐近线，铅直渐近线的条数可以为0，1，2，…，无数条。

(4) 分别求或判定x趋于正无穷大、趋于负无穷大函数f(x)/x的极限，如果其中极限值存在且不为零，则有对应的斜渐近线，并针对求得的极限值k，求斜渐近线的截距b，即求f(x)-kx的极限，则对应的斜渐近线方程为y=kx+b。斜渐近线的条数可以为0，1，2。

参考课件节选