【原】《數理精蘊》勾股較、弦和較及弦較較相關題之(8)

《數理精蘊》勾股較、弦和較及弦較較相關題之(8)

上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《數理精蘊》有勾股弦和較相求之法，共六十法，本文介紹其中二法，此二法皆新法，涉及勾股較、弦和較及弦較較。

關鍵詞：勾股較、弦和較、弦較較

勾﹝或作“句”﹞股之術，始於《周髀》，其勾股形﹝今之所謂“直角三角形”﹞勾三、股四、弦五乃最早之勾股形也。《御製數理精蘊》﹝簡稱為《數理精蘊》﹞亦有勾股之問，除勾股連比例外，尚涉及勾股弦和較相求之法；此類相求之法錯綜變換複雜，《數理精蘊》增之為六十法，《御製數理精藴‧下編‧卷十二‧勾股弦和較相求法》簡介曰：

勾股弦和較相求之法，錯綜變換，共有六十。舊算書所有者八，按舊法可以變通者三十有四，舊法所無，今創立者一十有八。依題比類列目於前，按法循序設問於後，以備人之觀覽焉。

據《數理精蘊》所云，舊算書所有者八法，依舊法而變通者有三十四法，《數理精蘊》又新創十八法，故新舊變通共六十法。

《數理精蘊》所云之六十法過於繁瑣，部分可歸納成一類，如此，其“法”之數可大幅減少，例如勾弦較與股弦較，兩者性質相同，不必細分為二。

筆者有文討論六十法其中部分之法，以下為文題：

《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(1)

《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(2)

《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(3)

《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(4)

《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(5)

《數理精蘊》勾股弦和較相求法題解之(6)

《數理精蘊》勾股弦和較相求法之(7)

本文主要以“一般情況”証明或說明《數理精蘊》之算法正確，《數理精蘊》之証明主要以圖，筆者之証明主要以現代代數法，現代代數法比圖法証明清晰。本文不討論《數理精蘊》之圖法証明，事實上，圖法証明難以說明算法。

難能可貴者，現代數學反而少提及此類多變化之勾股題。

本文數學題取材自《御製數理精藴‧下編‧卷十三‧面部三》，計有以下兩題：

Ÿ  有勾股較、有弦與勾股和之較，求勾、股、弦﹝第四十三新立﹞

Ÿ  有勾弦較、有弦與勾股較之較，求勾、股、弦﹝第四十四新立﹞

兩題皆《數理精蘊》所新立。

 (39)

有勾股較、有弦與勾股和之較，求勾、股、弦﹝第四十三新立﹞

設如有勾股較七尺，弦與勾股和之較六尺，求：勾、股、弦各幾何？﹝第四十三﹞

解：

題意指有一直角三角形，已知其勾股較，又知其弦與勾股和之較﹝弦和較﹞，求勾、股與弦之長。此題乃《數理精蘊》所新立。

下圖為一般之直角三角形圖﹝注意勾股定理 z² = x²+ y²﹞：

在以下各題中，x、y、z為直角三角形三邊為未知數，其他字母為已知數。

已知勾股較7尺為 d，其弦與勾股和之較﹝弦和較 ﹞6 尺為 l。以下為代數解法，即：

y – x = d ------------------------------------------------------- (1)

(x + y)– z = x + y – z = l-------------------------------------(2)

(2) 式左右平方得：

(x + y – z)²= l²

x² + y² + z²+ 2xy – 2xz – 2yz = l²

2z²+ 2xy – 2xz – 2yz = l² ﹝依勾股定理化簡﹞

z² + xy – xz – yz =l²---------------------------------------(3)

整理 (3) 式得：

(z²+ y² – 2yz) + (yz – y²– xz + xy) = l²，

以上乃關鍵之步驟，分解因式得：

(z – y)² + (z – y)( y – x) = l²

設 z –y = w，是為股弦較。重寫上式得：

w ² + w( y – x) = l²，以 (1) 代入得：

2w ²+ 2dw = l²

2w ²+ 2dw – l² = 0

以一元二次方程式公式解之得：

w = ﹝取正號﹞

 = 。為此即股弦較。

即 z –y =  ----------------------------- (4)

(4) + (2) 得 x = l + = 。

從 (1) 得 y = d + x，以x 代入得：

y = d + = = 。

由 (4) 可知 z – y =

z = + y = +

= = l +。

以 d = 7 及 l = 6 代入以上諸式得：

x = = =

= =  =  = 8。

y =  = =

= =  =  = 15。

z = l += 6 + = 6 + = 6 + 11 = 17。

以下為《數理精蘊》之算法：

法以弦與勾股和之較六尺自乗，得三十六尺，折半得十八尺，為長方積，即：6²÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18。

以勾股較七尺為長闊較，用𢃄縱較數開方法算之，得二尺為股弦較，即解以下之一元二次方程式：

2w ²+ 2dw – l² = 0

w ² + dw –l² = 0

以 d = 7 及 l = 6 代入上式得：

w ² + 7w – 18 = 0，分解因式得：

(w – 2)(w + 9) = 0

取 w = 2 為解，是為股弦較。或以一元二次方程式公式解：

w = ﹝取正號﹞

= = = =  =  = 2。

﹝不用𢃄縱較數開方法﹞

與弦與勾股和之較六尺相加，得八尺為勾，即：6 + 2 = 8。

加勾股較七尺得十五尺為股，即：8 + 7 = 15。

再加股弦較二尺得十七尺為弦也，即：15 + 2 = 17。

以上之單位皆為尺，略去。

答：勾 8尺，股 15 尺，弦 17 尺。

(40)

有勾弦較、有弦與勾股較之較，求勾、股、弦﹝第四十四新立﹞

設如有勾弦較九尺，弦與勾股較之較十尺，求：勾、股、弦各幾何？﹝第四十四﹞

解：

題意指有一直角三角形，已知其勾弦較，又知其弦與勾股較之較﹝弦較較﹞，求勾、股與弦之長。此題乃《數理精蘊》所新立。

已知勾弦較 9 尺為e，其弦較較 10 尺為 n。以下為代數解法，即：

z – x = e ----------------------------------------------------- (1)

z – (y – x) = z – y+ x = n ---------------------------------- (2)

z – y +x 是為“勾與股弦較之共數”。

(1)    式左右平方得：(z – x)²= e²

 z²–2zx + x² = e²------------------------------------------- (3)

(2) 式左右平方得：(z – y+ x)² = n²

x² + y²+ z² – 2xy + 2xz – 2yz = n²----------------------- (4)

(1)  + (2) 得 2z – y =n + e ------------------------------- (5)

2z – y 是為“弦與股弦較之共數”。上式左右平方得：

(2z – y)²= (n + e)²

4z²– 4yz + y²= n² + e² + 2ne---------------------------- (6)

(6) – (4) 得 2z²– 4yz + y²+ 2xy – 2xz + 2yz = e² + 2ne------ (7)

(7) – (3) 得 z² – 4yz + y² + 2xy + 2yz – x² = 2ne

以上步驟最關鍵，上式依勾股定理化簡得：

– 2yz + 2y² + 2xy – 2ne= 0

約去 2 整理得 y² – y(z – x) – ne = 0， 以 (1) 式 z – x = e 代入得：

y² – ey – ne = 0，以一元二次方程式公式解得：

y = ﹝取正號﹞。

因為 2z – y = n + e，見 (5) 式。

2z = n +e + y

以 y 之等值代入得 2z = n + e +

2z =

z = 。

因為 z – x = e﹝見 (1) 式﹞

x = z – e

=– e ﹝以 z 之等值代入﹞

=。

今以 e = 9 及 n = 10 代入以上諸式得：

y =  =  =  =
 =  =  = 15。

z =  = = =  = 17。

x = = = =  = 8。

以下為《數理精蘊》之算法：

法以弦與勾股較之較十尺為勾與股弦較之共數﹝葢弦與勾股較之較乃弦內減去勾股較之餘，然弦內有一勾一勾股較一股弦較，今減去勾股較，故餘為勾與股弦較之共數也﹞，即弦與勾股較之較等於勾與股弦較之共數，見 (2) 式。

自乗得一百尺，即：10²= 100。

又以勾弦較九尺，與弦與勾股較之較十尺相加，得十九尺為弦與股弦較之共數﹝葢勾加勾弦較即弦，今弦與勾股較之較既為勾與股弦較之共數，若加勾弦較則為弦與股弦較之共數矣﹞，即：9 + 10 = 19。

自乗得三百六十一尺，即：19² = 361。

兩自乗數相減餘二百六十一尺，即：361 – 100 = 261。

又以勾弦較九尺，自乗得八十一尺，於兩自乗數相減之，餘二百六十一尺，內減之餘一百八十尺，即：261 – 81 = 180。

折半得九十尺為長方積，即 180 ÷ 2 = 90，即以下一元二次方程式之常數。

以勾弦較九尺為長濶較，即下式之 y 之係數。

用𢃄縱較數開方法算之，得長十五尺為股，即解以下之一元二次方程式。

y² – ey – ne = 0

以 e = 9 及 n = 10 代入上式得：

y² – 9y – 90 = 0

分解因式得 (y – 15)( y + 6) = 0

取 y = 15 為解，是為股之長。

或以一元二次方程式公式解得：

y = ﹝取正號﹞

=

=

=

= 15。

以股十五尺與弦與股弦較之共數十九尺相加，得三十四尺，折半，得十七尺為弦，即：(15 + 19) ÷ 2 = 34，34 ÷ 2 = 17，是為弦之長。

內減勾弦較九尺，餘八尺為勾也，即：17 – 9 = 8，是為勾之長。

答：勾 8尺，股 15 尺，弦 17 尺。