|
大罕 【提问】 以角度为自变量可以建立三角函数吗？有人说不行，因为以角度为元素的集合不是数集。又有人说，角度带有单位，应该是常量，不是实数。请教王老师，该如何解释？ 【回复】 所谓角度，一般指用度分秒制表示角的大小。 1°表示一个大小是周角的360分之一的角，当然不是实数。 但是，把1°中的数值1单独抽出来说，这个1是实数。 任意给定一个角α（正角、负角或零角），总可以用度分秒制的度数表示它的大小，这个α角的大小就是n度，再把其中的n单独抽出来看，n是一个实数（这个过程实际上与用弧度制表示角时把弧度二字省略是一样的）。反之，任意给定一个实数n，我们总可以找到一个角α使其度数为n。于是角n的集合与实数集R建立了一一对应的关系。 因此，我们能以角度n为自变量建立正弦函数等三角函数。 必须即刻指出的是，以角度为自变量的函数，它给我们带来的麻烦不仅是难以胜数而且是无处不在的，而弧度制处处显示它的优越性。 首先是换算。度分秒制里的数，并用着十进制和六十进制。例如角α＝136°47′21"，其中136、47、21都是十进制，而度、分、秒之间是六十进制。于是，为了找出与角α对应的实数n，通常是比较麻烦的。 其次是运算。例如弧度制下π/3+1=(π+3)/3，畅通无阻。而60°+1怎么加？难道是60+1＝61（度）吗？多么尴尬！ 更重要的是运用。比如，弧长公式用弧度制是l=αr，而角度制则是l=nπr/180，麻烦不少. 又如求导公式，在弧度制下的求导公式，如用角度制，则统统要改写，比如自然对数的导数，在弧度制下非常漂亮，用角度制呢，则自找麻烦！ 再如求定积分，∫(0°-45°)sinxdx=cosx|(0°-45°)=cos45°-cos0°=(√2/2)-1，别别扭扭。 总之，用角度制非不行也，乃不便也，故不必也。 【附录】 (1)有人说“其实角度制的数字是带量纲的，弧度制的数字是不带量纲的，弧度制下的三角函数问题已经抽象为纯粹的数学问题，有更为广泛的应用。” 我的看法是，角度通常认为它是无量纲的量(与长度不同)。如果硬是说它有量纲，那么它量纲为1。量纲说到底是物理上的概念。其理论还有点复杂。不必深究。何况回答上述问题，完全不必扯出量纲来说。 (2)有人说“度分秒制表示的角是有理数，不能与实数集一一对应。而弧度制能，所以用弧度制。” 我的看法是：从理论上讲，度数为无理数的角是存在的，如同弧度制里有无理数的角一样，其大小可用有理数去逼近。可见，这个不能成为三角函数用弧度制的角作为自变量的理由。 (3)有人说“这个问题教材已经讲得很清楚了，建议大家认真阅读下教材，以角为自变量可以通过弧度数与实数一一对应，自然符合函数的定义呀。” 我的回答是：你说的教材讲清楚了，是讲为什么可以用弧底制定义三角函数，而教材中没讲为什么不用角度制去定义三角函数。所以，我们有必要讨论为什么不用角度制去定义三角函数。 教材里当然是把该讲的问题是讲清楚了的。但是教材也不可能包罗万象，把一切可能疑问的问题都讲清楚。比如，为什么不用角度制去定义三角函数，第一，教材不必要讲（因为针对学生用的教材），也不好讲（涉及更多东西）。这些，就是我们教师教研时可以讨论的问题。 (4)有人问“函数作图，对X轴与y轴单位是要求一致吗？角度制下能画出三角函数的图像吗？” 我的回答是：个人以为是作图的需要!函数图像对横轴和纵轴的单位要求是一致的。否则会因单位不一致使得图像“失真”。当然这是指纯理论情况下的。但是，作为实际应用题的函数的图像，横轴与纵轴的单位允许不一致，以需要与可能为准。 另外，在角度制下，三角函数的图像是可以画出的。不过，要事先作种种的约定。这无疑是件令人生厌的事情。比如说，表示1度的实数1，在横轴上画一个单位长，90度的正弦值等于1，这个1在纵轴上同样画一个单位长，那么，这样画出来的“正弦波”相当地扁平，比起弧度制下的正弦波来它丑陋不堪，让人难以接受。不仅如此，如果作其它的约定，也可以画出图像来。从而引起无谓的争论。因此，从画图这一点来说，也是人们摒弃角度制而坚定不移采用弧度制来定义三角函数的理由之一。 (5)又有网友这样说：“上述这个问题，似在嘴边，而几乎没有想到。明白了这个道理，继续学习三角，积极性提高了。”笔者完全赞同这个说法。 |
|
|
