一道平几题的多种解法

大罕

【问题】已知ABC，∠A=3∠B，M为AB中点，∠CMA=45°，求证：∠ACB=90°.

【证明1】如图1，设∠B= x，作正方形CDMN，MN与BC交于点E，连接AE，

 由ME⊥AB，且M为AB中点知，EA=EB，

  ∴∠B=∠EAB= x，

 再由∠CAB=3 x，知∠CAE=2x，

 而∠CEA=2 x（三角形外角定理），

 ∴AC=CE，从而易知ACDECN，

 ∴∠ACD＝∠ECN，

 ∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD=∠DCB+∠ECN=∠DCN＝90°.

【证明2】如图2，设∠B=x，作ME⊥AB交BC于点E，连AE，

 在AB上取点F使MF=ME，则由CMECMF知CE=CF=AC,且∠CEM=∠CFM=90°+x,而∠CFA=3x，

故有而90°+x+3x＝180°，解得x＝22.5°，则∠CAB=67.5°，故∠ACB=90°.

【证明3】设∠CAB=3x，如图3，以CM为对称轴作ACM的对称图形TCM，则CA=CT，且∠T=∠CAB=3x，

由∠CMA=45°知，MT⊥AB，因此有CE＝CA=CT，∴∠CTE=∠CET=3x，

∴∠MEB=3x，

在RtMEB中，∠MEB+∠B=3x+x=90°，从而可知∠ACB=90°.

【证明4】以点M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图4，

设AB＝2m，∠CAB=3θ，∠CBA=θ，以下只需证明θ＝22.5°即可。

 直线AC：y=tan3θ(x+m)，即tan3θ·x-y+mtan3θ=0,

 直线BC：y=-tanθ(x-m)，即tanθ·x+y-mtanθ=0,

 直线MC：：y=-x，即x+y=0, ,

 根据三线共点的充要条件，有三条直线的系数行列式为零(word下无法打出，见图5)

∴2tan3θtanθ+tanθ-tan3θ=0，

 令t=tanθ，利用三倍角正切公式，再整理得：

t³+t²-3t+1=0，

 此方程有实根1，于是有(t-1)(t²+2t-1)=0，

 ∴t=√2-1,或t=-√2-1或1 (舍去)，由t=tanθ=√2-1知，θ＝22.5°.得证.

附注：此题还有平几解法，欢迎补充。另有三角解法，不叙。