 三角形 三角形中有着一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。 中线(Median)：三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。  高线(Altitude)：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。  角平分线(Angle Bisector)：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。  垂直平分线(Perpendicular Bisector)：通过三角形一边中点与该边所垂直的线段，又称中垂线。  以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。 三条中线的交点称之为形心(Centroid)。如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。  三角形的五心为内心、外心、形心、垂心以及旁心： 三个内角的角平分线的交点为内心(Incenter)，该点为三角形内切圆的圆心。 三条边的中垂线的交点称为外心(Circumcenter)，该点为三角形外接圆的圆心。 三条中线的交点称之为形心(Centroid)，被交点划分的线段比例为1:2。如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。 三条高线的交点称为垂心(Orthocenter)。  垂心(蓝色)、形心(红色)和外心(橙色)能连成一线，且成比例 1:2，称为欧拉线。  旁心 外角的角平分线的交点称为旁心(Excenter)。旁心有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。 数学家还定义了三角形其他各种各样有趣的”心”，比如 "Apollonius Point" and "Symmedian point"，这些在未来文章中会有继续整理介绍。 三角形内角/外角  圆  圆心角/圆周角 顶点在圆心的角叫圆心角(Central angle)，圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角(Inscribed angle)。 相关几何定理 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°。 外角定理 三角形中，任一角的外角，等于另两角的和。外角定理也可以扩充到任意多边形中：任意多边形的外角和，等于一周角。 正多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于: (n-2)*180°( n>=3，且 n 为整数） 多边形外角和定理 凸 n 边形的 n 个外角之和等于360º。(如上图) 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 勾股定理 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。 勾股定理的逆定理亦成立。 圆心角定理 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等，此定理也称"一推三定理"。 圆周角定理 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆，所对的弦是直径。 若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 泰勒斯定理 泰勒斯定理(Thales' theorem)以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名。 若 A, B, C 是圆周上的三点，且 AC 是该圆的直径，那么 ∠ABC 必然为直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。 泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。 拿破仑定理 Napoleon's Theorem 拿破仑定理是拿破仑发现的平面几何定理："以任意三角形各边为边分别向外侧作正三角形，则它们的中心(三心)连线必构成一个正三角形。"该正三角形称为拿破仑三角形。 如果向内作三角形结论同样成立。 蝴蝶定理 Butterfly Theorem 蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。题目的几何图形象一只蝴蝶，便以此命名。 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 阿基米德中点定理 阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。若M、C在弦AB异侧，则AD=DC-CB；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC+BC。 芬斯勒—哈德维格尔定理 芬斯勒—哈德维格尔定理（Finsler-Hadwiger Theorem）说明：若两个正方形ABCD和AB'C'D'拥有同一个顶点A。B'D的中点、BD'的中点、ABCD的中心和AB'C'D'的中心将组成一个正方形 TQRS。 帕普斯定理 帕普斯六角形定理(Pappus's hexagon theorem)，内容是设 A,B,C 是一直线上三点，D,E,F 是另一直线上三点，如果 AF, AE, BF分别与CE, CD, BD相交，则三个交点 X,Y,Z 共线。 维维亚尼定理 维维亚尼(Viviani)定理说明：在等边三角形内任意一点P跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。 这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。 圆幂定理 平面上任意点P对半径R的圆O的幂定义如下： 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 祖暅原理 祖暅原理，又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。 在欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理，所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理。 两个体积相同的硬币堆叠，来说明祖暅原理。 共边定理 共边定理 设直线AB与PQ交于M, 则 这样共边三角形的面积比可以转化成线段比表示了。 托勒密定理 托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形为圆内接四边形，两组和相同。 狭义的托勒密定理也可以叙述为：若且仅若圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上也可以看做一种判定圆内接四边形的方法。 欧拉定理(几何) 几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离 d 可表示为 其中 R 为外接圆半径， r 为内切圆半径。 从欧拉定理可推出欧拉不等式 (当三角形等边时，等号成立)： 正弦定理 正弦定理(Law of sines)指出：对于任意 △ABC，a,b,c 分别为 ∠A、∠B、∠C 的对边，R 为 △ABC 的外接圆的半径，则有 余弦定理 余弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值 cos 的数学式，内容是： 当知道三角形的两边和一角时，余弦定理可被用来计算第三边的长，或是当知道三边的长度时，可用来求出任何一个角。 海伦公式 海伦公式(Heron's formula)，又称希罗公式、海龙公式。中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，所以亦称"海伦-秦九韶公式"。 假设有一个三角形，边长分别为 a,b,c，三角形的面积 A可由以下公式求得： 测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离就可以计算出答案。(下次待续...) |
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