【原】《數書九章》之有誤“蕉田求積”公式說

瀟湘館112 2020-11-08

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《數書九章》之有誤“蕉田求積”公式說

上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：秦九韶之《數書九章》有“蕉田求積”一問，此問涉及一“一元二次方程式”，此方程式秦九韶無提出証明，觀其形式疑有誤。無論如何，秦九韶之蕉葉田公式不妨認識之，但仍証明及探索。

關鍵詞：蕉葉田、中廣、中長

本文取材自秦九韶之《數書九章》﹝又稱為《數學九章》﹞卷三上。本題為求蕉葉田之面積，秦九韶提出一算出其面積之方程式，但無証明，後人認為其式有誤。本文介紹此有問題之“蕉田求積”公式。

蕉田求積

問：蕉葉田一叚，中長五百七十六歩，中廣三十四歩，不知其周。求：積畆合幾何？

荅曰：田積四十五畆一角﹝按六十歩為一角，葢四分畆之一也﹞十一歩六萬三千七十分歩之五千二百一十三。

術曰：以長並廣再自乗，又十乘之為實，半廣半長各自乘所得相減，餘為從方，一為從隅，開平方，半之得積。

草曰：以長五百七十六歩，併廣三十四歩，得六百一十，兩度自乘﹝按即自乘再乘﹞得二億二千六百九十八萬一千歩，進一位即是以十乘之，得二十二億六千九百八十一萬歩，定得此數以為實。置長五百七十六以半之，得二百八十八，自乘得八萬二千九百四十四於上。又置廣三十四歩以半之，得一十七自乘得二百八十九，減上，餘八萬二千六百五十五為從方，以一為從隅，開平方得二萬一千七百四十二歩，不盡一萬四百二十六歩，以商生隅入方又並隅，算共得一十二萬六千一百四十為母與不盡及開方田積數皆半之，田積定得一萬八百七十一步六萬三千七十分歩之五千二百一十三，以畆法二百四十約之，得四十五畆一角一十一歩六萬三千七十分歩之五千二百一十三。

按：此術以長與廣相加，自乘再乘又以十乘之為長方積，以半長自乘半廣自乘相減為長濶較，求得闊折半為田積，非法也。此題中廣甚小，故得數較古法多七百餘，較密法少二千七百餘。

若設長為七百零七，廣為二百九十三，亦以此法求之，長廣相加自之再之，又十乘之得一百億為實，半長半廣各自之，相減得十萬零三千五百為長闊較，求得闊，折半得三萬零四百二十六歩餘為田積。若設長為七百零七，廣為二百九十三，亦以此法求之，長廣相加自之再之，又十乘之得一百億為實，半長半廣各自之，相減得十萬零三千五百為長闊較，求得闊，折半得三萬零四百二十六歩餘為田積。

依宻法求之，實十四萬四千九百餘歩，所差甚逺，其術之不合顯然矣，葢數必三乘而後可以平方求之，今再乘之，後僅以十進之，宜其不可用也。

以上按語屬清‧四庫全書版《數學九章》之編纂官。按語指出秦九韶之算式有誤，不可用。

解：

蕉葉田形是由兩個長而扁平相等之弓形上下合併而成，以下為蕉葉田圖﹝以 AC 為縱向，今改為橫﹞，求其面積：

BD為中廣，AC 為中長﹝以縱向為長﹞，已知BD = b = 34， AC = c = 576。又設 A 為蕉葉田面積，而 x 為 2A，即 2A = x﹝單位為“步”或“方步”，略去﹞，據秦九韶所云，x 滿足以下方程式：

x² + x – 10(b + c)³= 0 ----------------------------- (1)

秦九韶無採用《九章算術‧第一章‧方田》中弧田術公式，而自創 (1) 式。

清‧四庫全書版《數學九章》編纂官有按語，認為 (1) 式“非法也”及“不可用也”，曰：

此術以長與廣相加，自乘再乘又以十乘之為長方積，以半長自乘半廣自乘相減為長濶較，求得闊折半為田積，非法也。…其術之不合顯然矣，葢數必三乘而後可以平方求之，今再乘之，後僅以十進之，宜其不可用也。

﹝見上文﹞，所謂“非法”即“非正式之計算法”，“不可用”之意指 (1) 式錯誤。“以十進之”表示乘以 10。

其理由為常數項之“實”10(b+ c)³ 非四次冪而只為立方，蓋立方不能開平方也，不合理也，故“實”應為 (b + c)⁴；又原式第三項只用 10 乘，知其不可用也。

若 b = c，則蕉葉田應成為圓形，(1) 式之 x 係數為 0，於是：

2A= c²，c 為圓直徑，而π= √10，是為“張衡率”。由此可知(1)式之第三項應為。故其術應曰：

此術以長與廣相加，半之乃自乘再自乘，又以十乘之，四約之而為長方積。

“自乘再自乘”指 × = 。常數項解決後，但秦九韶仍無說明 x 項之來源及意義。

無論如何，今以數字代入式 (1) 得：

x² + (288²– 17²)x – 10(576 + 34)³ = 0

x² + (82944 – 289)x – 10 × 610³= 0

x² + 82655x – 2269810000 = 0 ------------------------------- (2)

以上即《數書九章》之草曰：

得二十二億六千九百八十一萬歩，定得此數以為實。…八萬二千六百五十五為從方，以一為從隅。

較詳細之說法為“益實”，以“益”為負，以“從”為正。“平方求之”即解一元二次方程式。

答案A為田積四十五畆一角﹝按六十歩為一角，葢四分畆之一也﹞十一歩六萬三千七十分歩之五千二百一十三。

即 A 之整數部分為 45 × 240 + 1 × 60 + 11 = 10871，分數部分為，全答案為 10871，因為 x = 2A，即

2 × 10871 = 21742。

今將式 (2) 之根減去 21742，即今設 x = x₁ + 21742，式 (2)可寫成：

(x₁+ 21742)² + 82655(x₁ + 21742) – 2269810000 = 0

x₁² + 43484 x₁ + 472714564 + 82655x₁ + 1797085010 – 2269810000 = 0

x₁² + 126139 x₁– 10426 = 0 -------------------------------- (3)

從式 (3) 可知，x₁ 之近似值可取為，

即x₁ ≒ = = 。

即x = 21742 + = 21742。

A = 21742÷ 2 = 10871。

此數與原文答案 10871有出入，注意分母 63070 × 2 = 126140。即原文答案分數部分欠除以 2。

按語提及“古法”，即以古公式求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面積，亦即《九章算術‧第一章‧方田》中弧田術之公式。其公式﹝見下文﹞曰：

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

以下為弧田弦矢圖及弧田面積公式圖：

弧田面積 ABC = (cv + v²)之公式可觀察上圖而得，但此面積之誤差極大。cv 顯然為等腰 ΔABC 之面積，但尚欠 AB 及 BC 兩小弓形之面積﹝以 AB 及 BC 為弦﹞，此兩面積之和以 v² 作為近似值，即矢平方 BEFD 之半，亦即直角 ΔDEF 之面積。

若視蕉葉田為上下兩弓形之合併，即 v 為 17，v 為 576，蕉葉田圖之面積近似值 = 2 ×(cv + v²) = cv + v² = 17 × 576 + 17²= 9792 + 289 = 10081，本題答案為10871，兩數相減 10871 – 10081 = 790，故按語曰：

故得數較古法多七百餘。

其實得數較古法多近八百。按語又設 BD = b = 293，AC = c= 707，清編纂官以此例以說明秦九韶公式之不確，依秦九韶公式得：

x² +x – 10(293 + 707)³ = 0

x² +(124962.25 – 21462.25)x – 10 × 1000³= 0

x² + 103500x – 10000000000 = 0

以公式解一元二次方程式得 x = 60846.9

田面積為60846.9 ÷ 2 = 30423.5﹝方步﹞，按語答案為 30426，頗為準確。

以上之列式及運算步驟即按語所云：

若設長為七百零七，廣為二百九十三，亦以此法求之，長廣相加自之再之，又十乘之得一百億為實，半長半廣各自之，相減得十萬零三千五百為長闊較，求得闊，折半得三萬零四百二十六歩餘為田積。

“餘”指不盡之小數部分。

以下為清編纂官之算法：

先算出扇形面積 OBCA，再算出ΔOBA 面積，相減即得弓形ABC面積，倍之即得蕉葉田面積之近似值。

雙倍弓形為蕉葉田圖：

上圖之矢 CM = 146.5，半弦 MB = 353.5，依相似三角形可知CM × MD = MB²，即146.5 × MD = 353.5²，解 MD = 852.98，圓徑 = 146.5 + 852.98 = 999.48，取近似值為1000，即半徑為 500，OM = 500 – 146.5 = 353.5，因 MO = MB，ΔOBM 是為一等腰直角三角形，ΔOAB亦為一等腰直角三角形，面積為 353.5² = 124962.25，因為 AOB 為直角，扇形面積OBCA = × 500² ×= 196428.57。