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《九章算術》之弧田公式及畝法說

2020-11-12  瀟湘館112

九章算術》之弧田公式及畝法

上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面之公式,載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術本文亦提及1 畝有 240

關鍵詞:弧田弧矢形畝法

1  《九章算術》之弧田面積公式

古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面之公式,載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術,曰:

術曰:以弦乘矢,矢又自乘,之,二而一

此法稱為“古法”,即以古公式求弧田弧田涉及弦與矢,以下為弧田弦矢圖及弧田公式圖:

今設 BD 為矢,而 BD = vAC 為弦而AC = c

《九章算術》之弧田面積 ABC = (cv + v2)-------------------------- (1)

公式可憑觀察上兩圖而得,但此面積之誤差極大。cv 顯然為等腰 ΔABC 之面積,但尚欠 AB BC 兩小弓形之面積﹝以 AB BC 為弦﹞,此兩面積之和以 v2 作為近似值,即矢平方 BEFD 之半,亦即直角 ΔDEF 之面積。 (1) 誤差極大之另一理由為涉及古圓周率 π = 3,而π = 3 乃粗略之值,若以此數值為基礎,則其相關之算法及所得之結果亦粗略。

(1) 式與π = 3 有關之說可見之於劉徽注文,《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注曰:

弧田,半圓之冪也。故依半圓之體而為之術。以弦乘矢而半之,則為黃冪,矢自乘而半之,則為二青冪。

(1) 之面積公式可由半圓之面積推出,故曰“依半圓之體而為之術”。若π= 3,圓半徑為 r,則圓面積為 3r2,半圓面積為

半圓面積 =  = (2r × r +r2) = (AC× OB + OB2) -------------- (2)

等號右方乃 (1) 式之形式。

注意 OA = OC = OB = rAC = 2r﹝見左下圖﹞。

若直徑AC 向上移至 A’C’ ,則A’C’ 之長非 2r,而縮短成 c,相應 OB縮短成 BM,其長為 v,半圓形變成弓形,其面積仍有 (2) 之形式,但相應數值成 (cv + v2)﹝見右上圖﹞,即 (1) 式。

又據注文所云 cv 是為“黃冪”, v2 是為“二青冪

下圖之 ΔABC是為“黃冪”,v2 是為“二青冪”,即左右兩梯形面積

以下為黃冪青冪圖:

《九章算術‧卷一‧方田》有以下之例:

今有弧田,弦十步,矢十五步。問為田幾何?

答曰:一畝九十七步半。

解:

從上可知 c = 30 ,v = 15,代入以上公式 (1)

(cv + v2) = (30 × 15 + 152)

= (450 + 225)

= × 675

= 337﹝方步﹞。

1 畝有240 ,則337方步 = 1 97﹝方﹞步,合所問。

《九章算術卷一方田》作一畝之定義如下:

以畝法二百四十步除之,即畝數。百畝為一頃。

淳風等按:

一畝之田,廣十五步,從而疏之,令為十五行,則每行廣一步而從十六步。又橫而截之,令為十六行,則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步,各自為方,凡有二百四十步。

”,解釋也。因古人無“方步”之概念,為表示方步,通常表示為一長方形,其闊為一單位。例如一畝田,可以以下圖表示:

以上長方形面積為 240方步,但古人仍稱之為“240步”。朱世傑《筭學啟蒙‧總括》曰:

按畝法:闊一步,長二百四十步。

《筭學啟蒙》之意指一畝為 240方步。在《九章算術》中,淳風一畝田作如下之闡釋:

令為十五行,則每行廣一步而從十六步﹝下右圖﹞

又橫而截之,令為十六行,則每行廣一步而從十五步﹝下左圖﹞

以上兩長方形之面積均為 240 方步,即一畝。,同縱。

《九章算術》李籍音義曰

畝法,莫厚切。司馬法,六尺為步,步百為畝。秦孝公之制,二百四十步為一畝。

1 畝有 240 步之制乃始於秦,其後歷朝皆用之。

《九章算術卷一方田》有另一題如下:

又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。問為田幾何?

答曰:二畝一百五十五步八十一分步之五十六。

c = 78 = v = 13 = 依以上公式可得:

[×+ ()2]

= ( + )

= ()

=

= 635﹝方步﹞

635方步 = 2155方步

本例之一畝亦為 240方步。

以下為元‧朱世傑《筭學啟蒙‧總括》提及之“畝法”:

2  《九章算術》之矢弦求圓徑法

《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注文尚涉及已知矢、弦而求圓徑。

已知矢、弦而求圓徑與弧田之公式迥然不同。引文曰:

句股鋸圓材之術,以弧弦為鋸道長,以矢為鋸深,而求其徑。

古人鋸圓木材,以 CM 矢為鋸深,其長為 v,以 AB 弧弦為鋸道長,其長為 c,有 v c,而觸發求圓徑之想。 今設圓直徑為 x,以下為鋸深鋸道長求圓徑圖。

從圖可知 OM + MC = OC,在直角 ΔOBM 中,OM =
MC = v OC =x,即:

+ v = x

= xv

 = xv + v2

= – xv + v2

xv = v2 +

x = (v2 + )

x = v +

《九章算術》清‧編官案曰:

此謂弧矢形求圓徑其術以弧弦折半自乘矢除之加矢為圓徑。

改寫成算式如下:

弧弦折半自乘即:(c)2 =

矢除之即:

加矢即:v + 為圓徑。

《九章算術》注曰:

既知圓徑,則弧可割分也。割之者,半弧田之弦以為股,其矢為句,為之求弦,即小弧之弦也。以半小弧之弦為句,半圓徑為弦,為之求股。以減半徑,其餘即小弦之矢也。割之又割,使至極細。但舉弦、矢相乘之數,則必近密率矣。

已知矢、弦而求圓徑其實是割圓術之初步,割圓術最終為求圓周率之密率,與求弧田面不相類。

以上引文意指求得圓徑後,則弧可以再二分,弧 ACB 二分成AC CB,弧 CB 可二分成 CN NBON 圓半徑,CB為弦,兩者算出後,以句股定理算出 OP 之長,PN 之長亦可得,在直角 ΔCNP 中,可算出弦 CN 之長,再將CN 平分,又可算出介於 CN 之間之兩相等弦,步驟可繼續,如此可算出一非常精密之圓周率。

《九章算術》注又補充曰:

若但度田,取其大數,舊術為約耳。

其意指若量度田地之面積,取其大約之數即可, (1)之面積公式可用。

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