【原】《九章算術》之弧田公式及畝法說

瀟湘館112 2020-11-12

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《九章算術》之弧田公式及畝法說

上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面積之公式，載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術。本文亦提及1 畝有 240 方步。

關鍵詞：弧田、弧矢形、畝法

第 1 節《九章算術》之弧田面積公式

古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面積之公式，載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術，曰：

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

此法稱為“古法”，即以古公式求弧田面積。弧田涉及弦與矢，以下為弧田弦矢圖及弧田面積公式圖：

今設 BD 為矢，而 BD = v；AC 為弦而AC = c。

《九章算術》之弧田面積 ABC = (cv + v²)-------------------------- (1)

此公式可憑觀察上兩圖而得，但此面積之誤差極大。cv 顯然為等腰 ΔABC 之面積，但尚欠 AB 及 BC 兩小弓形之面積﹝以 AB 及 BC 為弦﹞，此兩面積之和以 v² 作為近似值，即矢平方 BEFD 之半，亦即直角 ΔDEF 之面積。 (1) 式誤差極大之另一理由為涉及古圓周率 π = 3，而π = 3 乃粗略之值，若以此數值為基礎，則其相關之算法及所得之結果亦粗略。

(1) 式與π = 3 有關之說可見之於劉徽注文，《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注曰：

弧田，半圓之冪也。故依半圓之體而為之術。以弦乘矢而半之，則為黃冪，矢自乘而半之，則為二青冪。

式 (1) 之面積公式可由半圓之面積推出，故曰“依半圓之體而為之術”。若π= 3，圓半徑為 r，則圓面積為 3r²，半圓面積為。

半圓面積 = = (2r × r +r²) = (AC× OB + OB²) -------------- (2)

等號右方乃 (1) 式之形式。

注意 OA = OC = OB = r，AC = 2r﹝見左下圖﹞。

若直徑AC 向上移至 A’C’ ，則A’C’ 之長非 2r，而縮短成 c，相應 OB縮短成 BM，其長為 v，半圓形變成弓形，其面積仍有 (2) 之形式，但相應數值成 (cv + v²)﹝見右上圖﹞，即 (1) 式。

又據注文所云 cv 是為“黃冪”， v²是為“二青冪”。

下圖之 ΔABC是為“黃冪”，v²是為“二青冪”，即左右兩梯形面積。

以下為黃冪與青冪圖：

《九章算術‧卷一‧方田》有以下之例：

今有弧田，弦三十步，矢十五步。問：為田幾何？

答曰：一畝九十七步半。

解：

從上可知 c = 30 ，v = 15，代入以上公式 (1) 得：

(cv + v²) = (30 × 15 + 15²)

= (450 + 225)

= × 675

= 337﹝方步﹞。

若 1 畝有240 方步，則337方步 = 1 畝 97﹝方﹞步，合所問。

《九章算術‧卷一‧方田》作一畝之定義如下：

以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。

淳風等按：

一畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，則每行廣一步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方，凡有二百四十步。

“疏”，解釋也。因古人無“方步”之概念，為表示方步，通常表示為一長方形，其闊為一單位。例如一畝田，可以以下圖表示：

以上長方形面積為 240方步，但古人仍稱之為“240步”。朱世傑《筭學啟蒙‧總括》曰：

按畝法：闊一步，長二百四十步。

《筭學啟蒙》之意指一畝為 240方步。在《九章算術》中，李淳風對一畝田作如下之闡釋：

令為十五行，則每行廣一步而從十六步﹝下右圖﹞。

又橫而截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步﹝下左圖﹞。

以上兩長方形之面積均為 240 方步，即一畝。從，同縱。

《九章算術》李籍音義曰：

畝法，莫厚切。司馬法，六尺為步，步百為畝。秦孝公之制，二百四十步為一畝。

故 1 畝有 240 方步之制乃始於秦，其後歷朝皆用之。

《九章算術‧卷一‧方田》有另一題如下：

又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問：為田幾何？

答曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。

c = 78 = ，v = 13 = ，又依以上公式可得：

[×+ ()²]

= ( + )

= ()

= 635﹝方步﹞。

635方步 = 2畝155方步。

本例之一畝亦為 240方步。

以下為元‧朱世傑《筭學啟蒙‧總括》提及之“畝法”：

第 2 節《九章算術》之矢弦求圓徑法

《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注文尚涉及已知矢、弦而求圓徑。

已知矢、弦而求圓徑與弧田面積之公式迥然不同。引文曰：

句股鋸圓材之術，以弧弦為鋸道長，以矢為鋸深，而求其徑。

古人鋸圓木材，以 CM 為矢為鋸深，其長為 v，以 AB 為弧弦為鋸道長，其長為 c，有 v 有 c，而觸發求圓徑之想。今設圓直徑為 x，以下為鋸深鋸道長求圓徑圖。

從圖可知 OM + MC = OC，在直角 ΔOBM 中，OM = ，
MC = v ，OC =x，即：

+ v = x

= x – v

– = – xv + v²

–= – xv + v²

xv = v² +

x = (v² + )

x = v + 。

《九章算術》清‧編纂官案曰：

此謂弧矢形求圓徑，其術以弧弦折半自乘，矢除之，加矢，為圓徑。

改寫成算式如下：

弧弦折半自乘，即：(c)² = ，

矢除之，即：，

加矢，即：v + ，為圓徑。

《九章算術》注曰：

既知圓徑，則弧可割分也。割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦為句，半圓徑為弦，為之求股。以減半徑，其餘即小弦之矢也。割之又割，使至極細。但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣。

已知矢、弦而求圓徑其實是割圓術之初步，割圓術最終為求圓周率之密率，與求弧田面積不相類。

以上引文意指求得圓徑後，則弧可以再二分，弧 ACB 二分成AC 與 CB，弧 CB 可二分成 CN 與 NB，ON 為圓半徑，CB為弦，兩者算出後，以句股定理算出 OP 之長，PN 之長亦可得，在直角 ΔCNP 中，可算出弦 CN 之長，再將CN 平分，又可算出介於 CN 之間之兩相等弦，步驟可繼續，如此可算出一非常精密之圓周率。