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成才路上 奥数国家级教练与四名特级 教师联手执教。 数学老师要研究解题，更要研究解题教学，仅仅自己是解题高手还不够，更要让学生领悟解题的真谛，切不可只顾自己玩弄技巧，以解繁难偏怪题为荣，数学玩的应该是概念和模型、是抽象和逻辑。老师引导帮助学生总结一般规律、掌握策略方法才是王道！这也是发展学生能力和提升考试成绩的可靠正途。 如果用一句话概括解题的指导原则，那就是“条件用足，模型完备，问题必解。”题中每个条件都要充分发挥其作用，通过构造完备的模型就能把条件与问题进行充分联结。解题就是过河，条件是此岸，问题是彼岸，模型是连接此岸与彼岸的桥梁，而造桥的材料是在此岸寻找，桥的造法也要依据彼岸的特征。可别小瞧了这个原则，有时做题往往想得太久想得太远，或受思维定势的影响，以致于偏离了方向，忘记了该从哪里出发，向哪里前进。 例1．如图，等边△ABC中，AB=6，D为BC的中点，E为△ABC内一动点，DE=2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，则DF的最小值为 ． 不少学生根据经验想到构造下面的手拉手模型，却发现无法解决问题，这是咋回事呢？ 这是因为依靠经验和感觉解题具有较大的盲目性，并不能看清问题的真面目。稍加分析我们会发现，这里虽然有了手拉手全等模型，但它并没有把条件充分利用，如DE的长以及要求的线段CF并没有出现在模型中，以致这两个条件没有得到有效利用，不符合“条件用足，模型完备”的原则，所以可以推断这种构造方法是解决不了问题的。 本题中有的条件信息其实是打酱油的，与问题没有直接的关系，完全可以忽略，我们去掉BC两点看，对原问题的存在毫无影响，于是我们知道，等边三角形ABC只是作为背景条件用来确定AD的长度，其它并无用处。 好吧，我们把图形做个瘦身，会发现问题是如此简单明了！ 很容易想到旋转60度构造双等边手拉手模型： 易得DF≥PD－PF=3√3－2，DF最小值为3√3－2。 这一原则的核心就是：找准关键条件，紧抓所求问题，构造模型以使其建立联系。从这个角度思考，我们就能得到很多构造方法，本题的关键图形是等边△ABC、AD=3√3、DE=2、求DF，等边△ABC为我们提供了构造模型的方式－旋转60度，AD、DE、DF为我们提供了构造模型的主体－把其中任意一条线段旋转60度。看看，题目条件既告诉我们怎样操作，又告诉了我们把谁进行操作，如下另有五种构造方式： 我们还可以再换一种模型来解决，“E为动点，DE=2”这个条件告诉我们什么？E点轨迹是以D为圆心2为半径的圆，F点与E点是主从联动关系，所以F点轨迹是把圆D旋转60度得到的圆P，这样DF的最小值转化为定点D到圆P的最短路径，如下图。 例2.如图，正方形网格中，格点线段AB、CD交于点M，则AM：AB= . 本题图中点M的位置由AB、CD共同确定，可以建立坐标系，利用A、B点确定直线AB的函数表达式，利用C、D点确定直线CD的函数表达式，再求交点M的坐标，M点横坐标与B点横坐标的比即为AM：AB的值。 也可以构造与AB、CD及M点相关的相似形解决，如下图： 利用图中的两对相似三角形很容易求得AM：AB的值。但此题作为考试题出现时，得分率较低，就是因为学生还没有明确的从条件出发构造相关模型的意识。 解题教学要舍得花时间进行策略方法的感悟、总结以及系统化，如此才能真正促进解题能力的提升，赢得最终的胜利。就如你花时间学开汽车，开始阶段还不如骑自行车快，但是熟练之后就可以上高速公路，这时与骑自行车就不是一个层级上的较量了。我们从策略层面思考问题可以居高临下事半功倍，做到闻一知十一通百通，这才是真正的数学，真正的学习。 1．定变分析 题中哪些是常量哪些是变量？常量如何求？变量满足什么关系式？哪些是定点哪些是动点？定点如何确定？动点能确定运动轨迹吗？图形的形状确定吗？图形的大小确定吗？数量或图形之间的依存关系是什么？ 定变分析帮助我们判断哪些量是可求的，哪些量是不可确定的，从而明确解题的下一步思路． 例3.以点O为直角顶点作两个直角三角形，分别为ΔAOB、ΔCOD，其中∠B＝30°，BO=2√3，E是OD上一点且OE=1，P是线段AB上一个动点， 当ΔAOB绕点O旋转时，PN的最大值为 ，最小值为 . 结合问题观察推理，ΔCOD的形状大小与本题要求的问题有关系吗？显然并没有半毛钱关系，可以直接忽略不看，因为PE的长度只和其中的OE有关。再看ΔAOB已知两角一边，它的形状大小都确定，又P点是AB上动点，所以P点轨迹首先是线段AB。ΔAOB绕点O旋转时，AB绕点O旋转，AB是动线段，它的运动轨迹也是可以确定的，显然它旋转一周形成的轨迹是圆环，如下图： 注意内圆半径是O到AB的距离，即AB边上的高，因ΔAOB大小确定，高OH亦可确定。 现在我们把那个捉摸不定的动点P确定下来，P点可以看成是圆环内（包含边界）的任意一点，问题转化为E到圆环的最大最小距离，变成一个非常简单的求点到圆最值的基本问题： 显然OP最大为：大圆半径+OE=2√3+1，最小为：小圆半径－OE=√3－1。 本题还有更简洁的思考策略，ΔAOB相对于OE旋转了一周，若ΔAOB不动，把线段OE旋转一周，它们之间的关系是相同的。这里E点轨迹是以O为圆心1为半径的圆，转化为线段到圆的路径最值问题： 从更宏观的角度看，这里E点的位置和P点的位置都是不确定的，但它们的轨迹是确定的，又可以看成圆到圆的路径最值问题： 以上解法的本质是通过寻找轨迹把不确定的点限定在一定范围，并以确定的图形把它呈现出来，从而转化为已知的常用模型来解决，这体现了定与变的相对转化：变量可以由确定的关系式来限定，动点可以由确定的图形来限定，定值和定点都可以由特定的模型而求解。 2．方程解析 笛卡尔说过，一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题都可以转化为代数问题,而一切代数问题都可以转化为解方程！建立方程式求未知量的值是解决数学问题的通用策略，在坐标系中求未知点坐标也常常利用函数简析式建立方程求解．确定n个未知数的值需建立n个方程式；确定两个图像的公共点需求出两个图像的函数解析式． 例4．如图， ΔABC的内切圆与各边相切于点D、E、F，∠A=60°，BD=m，CD=n，用m、n表示ΔABC的面积. 首先根据切线长定理可知图中线段的相等关系： 这样各边中仅有AE（AF）是未知量，但我们再由条件∠A=60°可以建立方程求得未知量与m、n的关系，最后便可以用m、n表示面积。用什么模型建立关系呢？这里有特殊角度，而且需要求面积，我们自然可以想到构造相关直角三角形： 我们还可以用内切圆半径与三角形面积关系建立方程： 3.设参列式 题中存在较为复杂的数量关系时，我们可以设出合适的参数，再用此含参数的代数式表示相关数量，以方便寻找新的关系和结论。 例5.正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上一点，CE=3，DF=2，∠FEC=2∠BAE，求正方形边长. 题中条件“∠FEC=2∠BAE”直接看不出下一步结论，我们先设∠FEC=2∠BAE=2α，则∠BEA=90°－α，再得∠AEF=180°－(90°－α)－2α=90°－α，可得结论∠AEF=∠BEA，这个结论一旦出现，下面的思路就容易了，构造翻折型全等，容易在ΔCEF中根据勾股定理求得正方形边长。 例6.如图，正方形ABCD边长为2，E是正方形内一点，CE=BC，EH⊥BC于H，点P是RtΔCEH内心，则DP的最小值为 . 本题中P是动点，我们通常先考虑P点的运动轨迹，用“动中寻定，以静动”的方法，动点的运动轨迹是由定值（定点、定长、定线、定角等）确定的，设∠PEC=α，∠PCE=β，则∠PHE+∠HCE=2α+2β=90°，α+β=45°，所以有定角∠CPE=135°，但ΔCPE是运动的，这时条件“CE=BC”就派上用场了，可得ΔCPE与ΔCPB全等，∠CPB=∠CPE=135°，产生了“定边对定角”模型，可知P点运动轨迹是BC为弦的弧，顺利转化为基本问题：点到圆的最短路径。 本题中利用参数α、β的关系求得定角∠CPB=∠CPE=135°是关键的一步，可见设参列式是寻找数量关系的一般策略。 4.完形构造 模型化是数学中重要的思想方法，数学问题都是通过构造数学模型解决的，这里可分为三个层次： （1）组形：当题中已经具备完整的模型，识别相关元素并组合构造成特定数学模型。 例7.已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，BD⊥AB，M是射线BD上一点，CN⊥CM交AB于点N，求MN的最大值。 根据条件识别图中具备ΔACN与ΔBCM相似，从而构成“一转成双”模型，寻得另一对相似ΔMCN与ΔBCA。 由于线段MN两个端点都是动点不易确定其最小值，可转化为求CM的最小值，即为定点到定线模型，当CM⊥BD时最小，此时CM=3，MN=6。 （2）补形：当题中的模型残缺不完整时，添加补充合适的元素构造完整的数学模型。 例8.正方形ABCD边长为4，E、F分别是AD、BC上的点，且AE=CF，作AP⊥EF于P，求DP的最小值。 看完本题，我们应会感觉到已知图形太单薄，一定是需要补充点什么，由AE=CF且AE∥CF我们想到“X形”全等模型，如下图可得AO是定线。 再由∠APO=90°形成“定线对定角”模型，知P点轨迹是圆弧，问题即为“定点到定圆”的最短路径问题，如下图自然易求DP的最小值。 （3）变形：当题中的条件孤立隐蔽无联系时，把题中关键元素进行运动变换从而构造出新的数学模型。 例9.如图，F是ΔABC的中点，以AB、AC为斜边作RtΔABD和ΔACE，∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，求证：DF=EF. 题中DF、EF所在的图形没有现成的模型，无法产生联系，因而需要用变换的方式进行构造。题中有丰富的相等关系，可以猜测判断应该构造的模型是全等三角形。我们从中点条件看，常用的变换方式有：以线段端点为中心1：2缩放或以中点为中心旋转180度，分别可构造“A”形相似或“X”形全等。 ①分别以点B、C为中心把ΔBDF和ΔCEF以1：2放大，构造“A形”相似（即倍长BD、CE）： 同时出现“手拉手”模型： ②分别以点B、C为中心把ΔABC以2：1缩小，构造“A形”相似（即取AB、AC中点）： 同时出现“斜边中线”和“SAS全等”： ③以点F为中心把ΔBDF旋转180度，构造“X形”全等（即倍长DF）： 同时出现“一转成双”型相似和“斜边中线”： 根据此图还可推得∠EDF=∠BAD=∠CAE，∠DFE=2∠ABD=2∠ACE。 下图是以点F为中心把ΔCEF旋转180度，构造“X形”全等（即倍长EF）： ④以点F为中心分别把ΔADF、ΔAEF以1：2放大，构造“A形”相似（即倍长DF），同时出现“X形”全等和“SAS”全等： 完形构造是解决数学题的通用策略，思考问题时要把题目条件与数学知识与模型相联系，根据需要补充辅助元素构造完整的数学模型，问题便可得以解决。 归纳应用：从简单情形入手，归纳一般规律以解决复杂情况，多用于解决数、式、图的排列与计算问题。 例10.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，第100个三角形数为 ，2016是第 个三角形数。 相邻数据的差是等差数列，符合二阶等差数列特征：（1）1=1；（2）3=1+2；（3）6=1+2+3 ；（4）10=1+2+3+4；……（n）1+2+3+……+n=n(n+1)/2，利用此关系式得第100个数为5050；2016是第63个数。 例11.求下列式子的结果： 原式数据太多，而且数的排列具有规律性，我们先从简单情形进行计算归纳规律： 从而得出它的结果是三角形数，第n个式子的结果为n(n+1)/2，n=100时得结果为5050. 轨迹定位：问题中出现未知点或动点时，先确定该点的所在轨迹，再转化为与轨迹图形相关的问题加以解决。 例12.四边形ABCD中，BC=6，AB=AD，∠BAD=60°，∠BDC=45°，求AC的最大值。 图中有“BC=6，∠BDC=45°”，符合“定线对定角”模型，可判断D点在以BC为弦所含圆周角为45°的圆弧上： D点是主动点，A点是从动点，A点由点D绕点B逆时针旋转60度所得，由“主从联动”模型，可得点A的轨迹为弧BDC绕点B逆时针旋转60度所得的等弧，圆心同样为点O绕点B逆时针旋转60度而得的点E： 这样CA的最大值转化为“定点到定圆”的最大路径问题，即为CE+AE的值。 换一种角度，把ΔABC绕点B顺时针旋转60度至ΔDBP，得DP=AC，同样可转化为定点P到定圆O的最大路径问题。或直接在ΔDOP中三边满足DP≤DO+OP，即可求得DP的最大值。 例13.已知抛物线y=-0.5x2+3x+8与x轴分别交于点A、B，D（3，0），E（0，5），抛物线上有一点P（异于B点）满足ΔPDE的面积与ΔBDE相等，求P点坐标。 由ΔPDE的面积与ΔBDE相等可知P点到DE的距离与B点到DE的距离相等，可确定P点所在直线是两条到DE的距离为定长的平行线，利用直线与抛物线相交可求得P点坐标。 如图，由OM：OD=OB：OE可得OM=10/3，DN=DM=25/3，可求两条直线解析式分别为y=-5/3x-10/3、y=-5/3x+40/3，再由解析式即可得P点坐标 例14.（1）如图①，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是边上任意一点，则PC的最小值为 ． （2）如图②，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值. （3）如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把ΔBEF沿EF翻折，点B的对应点为P点，连接AP、CP，四边形APCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 同样可以把MN沿BD翻折至MN′，N′的轨迹即是把BC翻折后的BC′，转化为求C点到直线BC′的最短路径，即CH的长。 例15.抛物线y=0.5x2+1.5x-2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P为抛物线在第三象限的一个动点，作PH⊥BC于H. （1）求PH的最大值；（2）若∠HPC=2∠ABC，求点P的横坐标. 问题（1）中PH的长不易表示，可以作PN⊥x轴交BC于M，设P（x，0.5x2-1.5x-2），M（x，-0.5x-2），则PM=-0.5x2+x，PH=2√5/5PM，转化为求PM的最大值。 移花接木：问题中的表面形式变化而主体条件不变时，其方法思路完全相同，可以相互迁移；或后续问题包含前题模型，可以直接套用前题模型得出结论。 例16.已知：△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+√3，PA=√2，则： ①线段PB= ，PC= ； ②猜想：PA、PB、PQ三者之间的数量关系为 ； (2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论成立吗，请说明理由； (3)若动点P满足PA/PB=1/3,求PC/AC的值. 题中有角平分线BD，由“共线等角用翻折”把ΔBCD沿BD翻折到ΔBED；也可根据条件BC-AB=3，由“和差关系用截补”把BA延长截AE=3则得BE=BC，它们指向同一种图形构造，如下图，ΔACD的面积为ΔACE面积的一半，转化为求ΔACE的面积最大值，AE、AC为定值，显然当AE⊥AC时其面积最大，易得此时AD=1/2CE=2.5。 例19.已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 . 由旋转知G点轨迹是以A为圆心以AG为半径的圆，由GC=GB知G点轨迹是BC的垂直平分线，两轨相交可知存在两种情况，旋转角分别为60°和300°。 注：分类讨论问题中用轨迹定位法可使所求未知点一览无余没有遗漏！ 文章来源：数学大思维，作者：谈志国； |
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