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中考数学解题策略分类大盘点,附例题详答

2020-12-01  长沙7喜

 

成才路上

            奥数国家级教练与四名特级

     教师联手执教。


数学老师要研究解题,更要研究解题教学,仅仅自己是解题高手还不够,更要让学生领悟解题的真谛,切不可只顾自己玩弄技巧,以解繁难偏怪题为荣,数学玩的应该是概念和模型、是抽象和逻辑。老师引导帮助学生总结一般规律、掌握策略方法才是王道!这也是发展学生能力和提升考试成绩的可靠正途。


一、解题的黄金法则

如果用一句话概括解题的指导原则,那就是“条件用足,模型完备,问题必解。”题中每个条件都要充分发挥其作用,通过构造完备的模型就能把条件与问题进行充分联结。解题就是过河,条件是此岸,问题是彼岸,模型是连接此岸与彼岸的桥梁,而造桥的材料是在此岸寻找,桥的造法也要依据彼岸的特征。可别小瞧了这个原则,有时做题往往想得太久想得太远,或受思维定势的影响,以致于偏离了方向,忘记了该从哪里出发,向哪里前进。

例1.如图,等边△ABC中,AB=6,D为BC的中点,E为△ABC内一动点,DE=2,将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF,则DF的最小值为      

不少学生根据经验想到构造下面的手拉手模型,却发现无法解决问题,这是咋回事呢?

这是因为依靠经验和感觉解题具有较大的盲目性,并不能看清问题的真面目。稍加分析我们会发现,这里虽然有了手拉手全等模型,但它并没有把条件充分利用,如DE的长以及要求的线段CF并没有出现在模型中,以致这两个条件没有得到有效利用,不符合“条件用足,模型完备”的原则,所以可以推断这种构造方法是解决不了问题的。

本题中有的条件信息其实是打酱油的,与问题没有直接的关系,完全可以忽略,我们去掉BC两点看,对原问题的存在毫无影响,于是我们知道,等边三角形ABC只是作为背景条件用来确定AD的长度,其它并无用处。

好吧,我们把图形做个瘦身,会发现问题是如此简单明了!

很容易想到旋转60度构造双等边手拉手模型:

易得DF≥PD-PF=3√3-2,DF最小值为3√3-2。

这一原则的核心就是:找准关键条件,紧抓所求问题,构造模型以使其建立联系。从这个角度思考,我们就能得到很多构造方法,本题的关键图形是等边△ABC、AD=3√3、DE=2、求DF,等边△ABC为我们提供了构造模型的方式-旋转60度,AD、DE、DF为我们提供了构造模型的主体-把其中任意一条线段旋转60度。看看,题目条件既告诉我们怎样操作,又告诉了我们把谁进行操作,如下另有五种构造方式:

我们还可以再换一种模型来解决,“E为动点,DE=2”这个条件告诉我们什么?E点轨迹是以D为圆心2为半径的圆,F点与E点是主从联动关系,所以F点轨迹是把圆D旋转60度得到的圆P,这样DF的最小值转化为定点D到圆P的最短路径,如下图。

例2.如图,正方形网格中,格点线段AB、CD交于点M,则AM:AB=      .

本题图中点M的位置由AB、CD共同确定,可以建立坐标系,利用A、B点确定直线AB的函数表达式,利用C、D点确定直线CD的函数表达式,再求交点M的坐标,M点横坐标与B点横坐标的比即为AM:AB的值。

也可以构造与AB、CD及M点相关的相似形解决,如下图:

利用图中的两对相似三角形很容易求得AM:AB的值。但此题作为考试题出现时,得分率较低,就是因为学生还没有明确的从条件出发构造相关模型的意识。

二、解题的一般策略

解题教学要舍得花时间进行策略方法的感悟、总结以及系统化,如此才能真正促进解题能力的提升,赢得最终的胜利。就如你花时间学开汽车,开始阶段还不如骑自行车快,但是熟练之后就可以上高速公路,这时与骑自行车就不是一个层级上的较量了。我们从策略层面思考问题可以居高临下事半功倍,做到闻一知十一通百通,这才是真正的数学,真正的学习。





1.定变分析

题中哪些是常量哪些是变量?常量如何求?变量满足什么关系式?哪些是定点哪些是动点?定点如何确定?动点能确定运动轨迹吗?图形的形状确定吗?图形的大小确定吗?数量或图形之间的依存关系是什么?

定变分析帮助我们判断哪些量是可求的,哪些量是不可确定的,从而明确解题的下一步思路.

例3.以点O为直角顶点作两个直角三角形,分别为ΔAOB、ΔCOD,其中∠B=30°,BO=2√3,E是OD上一点且OE=1,P是线段AB上一个动点,

当ΔAOB绕点O旋转时,PN的最大值为         ,最小值为        .


结合问题观察推理,ΔCOD的形状大小与本题要求的问题有关系吗?显然并没有半毛钱关系,可以直接忽略不看,因为PE的长度只和其中的OE有关。再看ΔAOB已知两角一边,它的形状大小都确定,又P点是AB上动点,所以P点轨迹首先是线段AB。ΔAOB绕点O旋转时,AB绕点O旋转,AB是动线段,它的运动轨迹也是可以确定的,显然它旋转一周形成的轨迹是圆环,如下图:

注意内圆半径是O到AB的距离,即AB边上的高,因ΔAOB大小确定,高OH亦可确定。

现在我们把那个捉摸不定的动点P确定下来,P点可以看成是圆环内(包含边界)的任意一点,问题转化为E到圆环的最大最小距离,变成一个非常简单的求点到圆最值的基本问题:

显然OP最大为:大圆半径+OE=2√3+1,最小为:小圆半径-OE=√3-1。

本题还有更简洁的思考策略,ΔAOB相对于OE旋转了一周,若ΔAOB不动,把线段OE旋转一周,它们之间的关系是相同的。这里E点轨迹是以O为圆心1为半径的圆,转化为线段到圆的路径最值问题:

从更宏观的角度看,这里E点的位置和P点的位置都是不确定的,但它们的轨迹是确定的,又可以看成圆到圆的路径最值问题:

以上解法的本质是通过寻找轨迹把不确定的点限定在一定范围,并以确定的图形把它呈现出来,从而转化为已知的常用模型来解决,这体现了定与变的相对转化:变量可以由确定的关系式来限定,动点可以由确定的图形来限定,定值和定点都可以由特定的模型而求解。

2.方程解析

笛卡尔说过,一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题都可以转化为代数问题,而一切代数问题都可以转化为解方程!建立方程式求未知量的值是解决数学问题的通用策略,在坐标系中求未知点坐标也常常利用函数简析式建立方程求解.确定n个未知数的值需建立n个方程式;确定两个图像的公共点需求出两个图像的函数解析式.

例4.如图, ΔABC的内切圆与各边相切于点D、E、F,∠A=60°,BD=m,CD=n,用m、n表示ΔABC的面积.

首先根据切线长定理可知图中线段的相等关系:

这样各边中仅有AE(AF)是未知量,但我们再由条件∠A=60°可以建立方程求得未知量与m、n的关系,最后便可以用m、n表示面积。用什么模型建立关系呢?这里有特殊角度,而且需要求面积,我们自然可以想到构造相关直角三角形:

我们还可以用内切圆半径与三角形面积关系建立方程:



3.设参列式

题中存在较为复杂的数量关系时,我们可以设出合适的参数,再用此含参数的代数式表示相关数量,以方便寻找新的关系和结论。

例5.正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上一点,CE=3,DF=2,∠FEC=2∠BAE,求正方形边长.

题中条件“∠FEC=2∠BAE”直接看不出下一步结论,我们先设∠FEC=2∠BAE=2α,则∠BEA=90°-α,再得∠AEF=180°-(90°-α)-2α=90°-α,可得结论∠AEF=∠BEA,这个结论一旦出现,下面的思路就容易了,构造翻折型全等,容易在ΔCEF中根据勾股定理求得正方形边长。

例6.如图,正方形ABCD边长为2,E是正方形内一点,CE=BC,EH⊥BC于H,点P是RtΔCEH内心,则DP的最小值为        .

本题中P是动点,我们通常先考虑P点的运动轨迹,用“动中寻定,以静动”的方法,动点的运动轨迹是由定值(定点、定长、定线、定角等)确定的,设∠PEC=α,∠PCE=β,则∠PHE+∠HCE=2α+2β=90°,α+β=45°,所以有定角∠CPE=135°,但ΔCPE是运动的,这时条件“CE=BC”就派上用场了,可得ΔCPE与ΔCPB全等,∠CPB=∠CPE=135°,产生了“定边对定角”模型,可知P点运动轨迹是BC为弦的弧,顺利转化为基本问题:点到圆的最短路径。

本题中利用参数α、β的关系求得定角∠CPB=∠CPE=135°是关键的一步,可见设参列式是寻找数量关系的一般策略。

4.完形构造

模型化是数学中重要的思想方法,数学问题都是通过构造数学模型解决的,这里可分为三个层次:

(1)组形:当题中已经具备完整的模型,识别相关元素并组合构造成特定数学模型。

例7.已知RtΔABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=6,BD⊥AB,M是射线BD上一点,CN⊥CM交AB于点N,求MN的最大值。

根据条件识别图中具备ΔACN与ΔBCM相似,从而构成“一转成双”模型,寻得另一对相似ΔMCN与ΔBCA。

由于线段MN两个端点都是动点不易确定其最小值,可转化为求CM的最小值,即为定点到定线模型,当CM⊥BD时最小,此时CM=3,MN=6。

(2)补形:当题中的模型残缺不完整时,添加补充合适的元素构造完整的数学模型。

例8.正方形ABCD边长为4,E、F分别是AD、BC上的点,且AE=CF,作AP⊥EF于P,求DP的最小值。

看完本题,我们应会感觉到已知图形太单薄,一定是需要补充点什么,由AE=CF且AE∥CF我们想到“X形”全等模型,如下图可得AO是定线。

再由∠APO=90°形成“定线对定角”模型,知P点轨迹是圆弧,问题即为“定点到定圆”的最短路径问题,如下图自然易求DP的最小值。

(3)变形:当题中的条件孤立隐蔽无联系时,把题中关键元素进行运动变换从而构造出新的数学模型。

例9.如图,F是ΔABC的中点,以AB、AC为斜边作RtΔABD和ΔACE,∠ADB=∠AEC=90°,∠BAD=∠CAE,求证:DF=EF.

题中DF、EF所在的图形没有现成的模型,无法产生联系,因而需要用变换的方式进行构造。题中有丰富的相等关系,可以猜测判断应该构造的模型是全等三角形。我们从中点条件看,常用的变换方式有:以线段端点为中心1:2缩放或以中点为中心旋转180度,分别可构造“A”形相似或“X”形全等。

分别以点B、C为中心把ΔBDF和ΔCEF以1:2放大,构造“A形”相似(即倍长BD、CE):

同时出现“手拉手”模型:

分别以点B、C为中心把ΔABC以2:1缩小,构造“A形”相似(即取AB、AC中点):

同时出现“斜边中线”和“SAS全等”:

以点F为中心把ΔBDF旋转180度,构造“X形”全等(即倍长DF):

同时出现“一转成双”型相似和“斜边中线”:

根据此图还可推得∠EDF=∠BAD=∠CAE,∠DFE=2∠ABD=2∠ACE。

下图是以点F为中心把ΔCEF旋转180度,构造“X形”全等(即倍长EF):

以点F为中心分别把ΔADF、ΔAEF以1:2放大,构造“A形”相似(即倍长DF),同时出现“X形”全等和“SAS”全等:

完形构造是解决数学题的通用策略,思考问题时要把题目条件与数学知识与模型相联系,根据需要补充辅助元素构造完整的数学模型,问题便可得以解决。



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三、解题的常用方法
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题海无边,题型却有限,题目万变,方法却不变,掌握一类问题的常用方法便可以大大提高解题效率。

1.归纳应用

归纳应用:从简单情形入手,归纳一般规律以解决复杂情况,多用于解决数、式、图的排列与计算问题。

例10.古希腊数学家把1,3,6,10,15,21,……叫做三角形数,第100个三角形数为    ,2016是第     个三角形数。

相邻数据的差是等差数列,符合二阶等差数列特征:(1)1=1;(2)3=1+2;(3)6=1+2+3 ;(4)10=1+2+3+4;……(n)1+2+3+……+n=n(n+1)/2,利用此关系式得第100个数为5050;2016是第63个数。

例11.求下列式子的结果:

原式数据太多,而且数的排列具有规律性,我们先从简单情形进行计算归纳规律:

从而得出它的结果是三角形数,第n个式子的结果为n(n+1)/2,n=100时得结果为5050.

2.轨迹定位

轨迹定位:问题中出现未知点或动点时,先确定该点的所在轨迹,再转化为与轨迹图形相关的问题加以解决。

例12.四边形ABCD中,BC=6,AB=AD,∠BAD=60°,∠BDC=45°,求AC的最大值。

图中有“BC=6,∠BDC=45°”,符合“定线对定角”模型,可判断D点在以BC为弦所含圆周角为45°的圆弧上:

D点是主动点,A点是从动点,A点由点D绕点B逆时针旋转60度所得,由“主从联动”模型,可得点A的轨迹为弧BDC绕点B逆时针旋转60度所得的等弧,圆心同样为点O绕点B逆时针旋转60度而得的点E:

这样CA的最大值转化为“定点到定圆”的最大路径问题,即为CE+AE的值。

换一种角度,把ΔABC绕点B顺时针旋转60度至ΔDBP,得DP=AC,同样可转化为定点P到定圆O的最大路径问题。或直接在ΔDOP中三边满足DP≤DO+OP,即可求得DP的最大值。


例13.已知抛物线y=-0.5x2+3x+8与x轴分别交于点A、B,D(3,0),E(0,5),抛物线上有一点P(异于B点)满足ΔPDE的面积与ΔBDE相等,求P点坐标。

ΔPDE的面积与ΔBDE相等可知P点到DE的距离与B点到DE的距离相等,可确定P点所在直线是两条到DE的距离为定长的平行线,利用直线与抛物线相交可求得P点坐标。

如图,由OM:OD=OB:OE可得OM=10/3,DN=DM=25/3,可求两条直线解析式分别为y=-5/3x-10/3、y=-5/3x+40/3,再由解析式即可得P点坐标

3.化折为直

化折为直:定点间的几条折线段在一条直线上时,其和最小。另有:点到直线的所有连线中垂线段最小。这里的“直”理解为“直线”或“垂直”。注意:化折为直的前提是“几条连续折线在两个定点之间,或在定点与定线之间”,若不满足需先进行变换转化。

例14.(1)如图①,RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点P是边上任意一点,则PC的最小值为        

(2)如图②,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值.

(3)如图③,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F是BC边上的任意一点,把ΔBEF沿EF翻折,点B的对应点为P点,连接AP、CP,四边形APCD的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF的长度;若不存在,请说明理由.

问题(1)直接求点C到AB的距离。
问题(2)中折线CM、MN居于轨迹线BD同侧,无法化直,所以要先把CM或MN翻折变换到另一侧,以便化直,这样转化为点到线的最短路径问题。如下图,CM+MN=C′M+MN,C′N′即为其最小值,在ΔCC′N′中利用三角函数可求得为24/5×4/5=96/25。

同样可以把MN沿BD翻折至MN′,N′的轨迹即是把BC翻折后的BC′,转化为求C点到直线BC′的最短路径,即CH的长。

问题(3)中可先确定P点轨迹为以E为圆心以BE为半径的圆弧,把四边形APCD面积最小转化为ΔAPC面积最小,再转化为高PH最小,即求圆E到直线AC的最短路径,过E作AC的垂线,所得PH即为最小值,求得四边形APCD的面积最小值为15/2。

4.改斜归正

改斜归正:由于坐标的本质是水平竖直方向的距离,所以坐标系中往往把斜向线段的关系转化为正向(水平竖直方向)线段的关系解决。

例15.抛物线y=0.5x2+1.5x-2与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点P为抛物线在第三象限的一个动点,作PH⊥BC于H.

(1)求PH的最大值;(2)若∠HPC=2∠ABC,求点P的横坐标.

问题(1)中PH的长不易表示,可以作PN⊥x轴交BC于M,设P(x,0.5x2-1.5x-2),M(x,-0.5x-2),则PM=-0.5x2+x,PH=2√5/5PM,转化为求PM的最大值。

问题(2)可先确定∠HPC=2∠ABC的大小,再作K形相似把斜向关系转化为正向关系解决。如下图,作∠ODC=2∠ABC,易得tan∠ODC=4/3:

再以改斜归正法构造相似形,如下图,相似比为HC:HP=4/3,即可把斜线段的关系转化为直角边的关系(这就是改斜归正的最大优越性),易得P(-11a,-2-2a),代入函数表达式即可求得P点横坐标为-29/11。

5.移花接木

移花接木:问题中的表面形式变化而主体条件不变时,其方法思路完全相同,可以相互迁移;或后续问题包含前题模型,可以直接套用前题模型得出结论。

例16.已知:△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解决下列问题:

(1)如图①,若点P在线段AB上,且AC=1+√3,PA=√2,则:

①线段PB=       ,PC=       ;

②猜想:PA、PB、PQ三者之间的数量关系为           

(2)如图②,若点P在AB的延长线上,在(1)中所猜想的结论成立吗,请说明理由;

(3)若动点P满足PA/PB=1/3,求PC/AC的值.

问题(1)(2)所含模型及思路方法完全相同:手拉手全等得RtΔBPQ,易知PA2+PB2=PQ2

问题(3)直接用前面结论求PQ,注意分类讨论:设PA=a,PB=3a,PQ=√10a,PC/AC=PQ/AB=√10/4或√10/2。

6.运动变换

运动变换:问题中条件孤立无联系,所含模型隐蔽,通过把关键图形运动变换以产生新关系新模型以解决问题。常见运动变换的识别线索有:(1)共点等线用旋转;(2)共线等角用翻折;(3)平行线间用平移;(4)倍分关系用缩放;(5)和差关系用截补。

例17.如图,四边形ABCD中,AB=AC,E是BC的中点,∠BAE=∠ADC,AB:AD=2:3,BC=2,CD=5,求BD的长.

题中条件分散联系较少,由∠BAE=∠ADC导角得∠ABC+∠ADC=90°,以此想到作∠ADF=∠ABC可构造直角(和差关系用截补),由AB:AD=2:3想到构造ΔADF与ΔABC相似(倍分关系用缩放),由AB=AC想到旋转ΔABD或ΔACD(共点等线用旋转),上述几个线索都指向下面的构造方法:

上述构造都出现了一对全等三角形,一对相似三角形(等腰),一个直角三角形(ΔCDF或ΔBDF),从而获得完整的模型建立关系,易求BD的长为√34。


例18.如图,四边形ABCD中,BD平分∠ABC,BD⊥CD,AC=4,BC-AB=3,当ΔACD的面积最大时,AD=      .

题中有角平分线BD,由“共线等角用翻折”把ΔBCD沿BD翻折到ΔBED;也可根据条件BC-AB=3,由“和差关系用截补”把BA延长截AE=3则得BE=BC,它们指向同一种图形构造,如下图,ΔACD的面积为ΔACE面积的一半,转化为求ΔACE的面积最大值,AE、AC为定值,显然当AE⊥AC时其面积最大,易得此时AD=1/2CE=2.5。

7.分类讨论

分类讨论:当问题存在多种可能情况时,按不同情况分类分别解决。注意分类应不重不漏,严谨全面,并指明数量的取值范围或图形的位置范围。

例19.已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为     .

分类:(1)OP=OD=5,(2)PD=OD=5,(3)OP=PD=5(不存在)。用轨迹定位法作圆可知OP=OD时有一个点;PD=OD时存在两个点:

构造直角三角形分别求得P点坐标为(3,4)、(2,4)、(8,4)。


例20.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG,当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.

由旋转知G点轨迹是以A为圆心以AG为半径的圆,由GC=GB知G点轨迹是BC的垂直平分线,两轨相交可知存在两种情况,旋转角分别为60°和300°

注:分类讨论问题中用轨迹定位法可使所求未知点一览无余没有遗漏!

文章来源:数学大思维,作者:谈志国

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