两道好题——体会辅助圆的魅力

历年的中考试卷，几何综合题是必考内容，但因为难度大而颇具杀伤力，考生失分率很高。针对这样的高频考点，平时学习中必须有意识地去练习、琢磨一些经典的、具有代表性的“好题”，才能有效提高自己的战斗力。

今天的这两道题，就具备这样的特点：

【典例1】

如下图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为_____.

【分析】将梯形APQD沿PQ折叠，因为点Q位置的不同导致CQ长度是变化的，必须确定CA′的长度最小时的位置，才能求CQ的长度，这是解题的关键。先弄清楚点A′的运动轨迹，经分析可知，P为定点，PA长固定，题中给的条件完全符合“一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上”的构造模型，因此点A′的运动轨迹就在“以点P为圆心PA为半径的圆上”（做题时，只需作出在菱形ABCD内部的圆弧部分）

A′在圆弧上运动过程中，什么时候CA′的长度最小时呢？这就要用到第二个模型：圆外一点到圆上动点的最小值模型。具体看下面：

如图1，已知⊙P和圆外一点C，点A是⊙P上一点，求CA的最小值。

如图2，连接PC交圆于点A，此时CA即是最小值.

根据模型可轻松的找到CA′的长度最小时的位置，如下图，以点P为圆心PA为半径作圆与CP交点即为A′，此时CA′的长度最小。

过点C作CH⊥AB，垂足为H（如下图），先求得BH、HC的长，则可得到PH的长，然后再求得PC的长，最后依据折叠的性质得到∠1=∠2，由平行线的性质可证明∠1=∠3，则∠2=∠3，即△CQP为等腰三角形，自然就可得到CQ的长，答案为7．

点评： 判断出CA′取得最小值的位置是解题的关键，只有先确定点A′的具体位置，才能继续求解。题中用到了两个关于圆的模型：①判断出点A′的轨迹在圆上，构造出辅助圆；②圆模型解决线段长的最小值问题。

【典例2】

如下图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD=AB=1，AG=2，点E是线段BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接GB，GE，将△GBE关于直线GE对称的三角形记作△GFE，当点E运动到使点F落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE的长是__________．

【解析】本题实际上就是将△GBE沿折痕GE折叠得到△GFE，其中G是定点，E是动点，GB恒等于GF，这种情况完全符合辅助圆的构造条件：“折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上”，因此，点F的轨迹就是以点G为圆心，GB长为半径的圆上。而符合题意的F点就是辅助圆圆与矩形ABCD四条边所在直线的交点，然后找出对应的E的位置，求出此时的BE长即可。（对于辅助圆的构造，上篇《从2018年的一道中考真题说起——谈谈圆模型的构造原理及常见考题》有详细说明，敬请查阅）

如下图，依题意构造出辅助圆，随着折痕GE的变化，E点从B→C运动，符合条件的F点共有6个，经验证，当E与点C重合时，F点恰好运动到F4，故F4、F5、F6不可取。

以下是求F₁、F₂、F₃位置时，对应的BE长度。

求BE₁：如下图，Rt△ABG≌Rt△DGF₁（HL），DF₁=AG=2，CF₁=1，可证得∠AGB+∠DGF₁=90°，则△BGF₁是等腰三角形，BF₁=√10 Rt△BCF₁中，tanβ=⅓ ，Rt△BE₁H₁中，BH₁=½BF₁=√10/2，H₁E₁=⅓BH₁=√10/6，

可求得BE₁=5/3.

求BE₂：如下图，由圆的对称性，GE₂垂直平分BF₂，因此，BE₂=AG=2.

求BE₃：如下图，∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3 ∴△BGH₃≌△BE₃H₃ 可得BE₃=BG=√5

综上，BE=5/3或2或√5.

以上两题都是通过构造辅助圆解决的，其实还有许多类似题目都必须借助圆模型，这种方法是很重要的一种解题“利器”，用多了，你自然会发现它的妙处！

这两道都是几何综合题，也是质量相当高的好题，解题过程中，分别涉及到了菱形的性质、勾股定理的应用、三角函数、翻折对称的性质、等腰（全等）三角形的判定等，认真做一遍这样的题，能够掌握多个知识点，因此可以大幅度提高我们的“战斗素养”。