昨天做了一张卷 发现有个小题挺好的 当然说的不是难度 而是真的有意思 想了想 做个一题一研 不论有无实在意义 结论倒真的是挺美的 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的方程是y2-x2=1,y∈[1,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,最清洁钢球的最大半径为 . 分析:要使清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则球与双曲线相切于顶点,即双曲线上到球心距离最小的点为其顶点。 因此,此题是研究圆心在实轴上的什么位置时,双曲线与圆相切于顶点问题。 于是,我做了下面的研究: 因为双曲线关于y轴对称, 为方便计, 只考虑双曲线左支情况。 从以上分析不难看出, 当点A的横坐标时, 圆与双曲线总相切于顶点, 即顶点到点A距离最小。 如果要记忆的方便点, 这样是不是更有一种熟悉的感觉? 原来准线方程是: 嗯, 原来确实是很相像的。 所以, 当清洁钢球能擦净双曲丝底部时, 球的最大半径应为. 其实,类比双曲线,我们也可以尝试着在椭圆中研究下相似的问题。 记住那两个分界点的坐标哦, 有一个轴截面是抛物线型的酒杯,它的方程近似为x2=4y.现将一粒玻璃球放进酒杯内,若玻璃球能触及玻璃杯的底部,则玻璃球的半径最大为 。 从以上的分析不难看出, 若玻璃球触及玻璃杯的底部, 则玻璃球的球心必在(0,2)点的下方。 故玻璃球的最大半径为2. 为方便计,圆锥曲线的焦点均在x轴上,A(m,0)。 ①对于椭圆,当|m|≥c2/a时, 椭圆上到点A距离最小的点为顶点。 即:以点A为圆心的圆与椭圆切于顶点; ②对于双曲线,当|m|≤c2/a时, 双曲线上到点A距离最小的点为顶点。 即:以点A为圆心的圆与椭圆切于顶点; ③对于开口向右的抛物线,当m≤p时, 抛物线上到点A距离最小的点为顶点。 即:以点A为圆心的圆与抛物线相切于顶点。 |
|