|
本文对应推文内容为： 第20讲：曲线的凹凸性与分析作图法 【注】相关推文可以直接参见公众号底部菜单“高数线代”中的“高等数学概率其他"选项，在打开的高等数学面板中的各章节推文列表中可以看到所有相关历史推文，或者直接点标题下的”话题：例题练习参考解答“链接. 例题与练习题 【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！ 练习1：判定曲线的凹凸性. 练习2：求曲线的凹凸区间及拐点. 练习3：设在内可导，且 为严格凹函数，如果 为 在 内的驻点，那么 必为 的最小值点． 练习4：如图，已知函数 的导函数 的图形，指出 单调增加和单调减少区间；指出 的极大值点和极小值点；并指出曲线 的拐点的个数． 练习5：设函数 满足 试讨论函数 及其图形在点 处是否可能取得极值点或拐点，并说明理由. 练习6：试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上. 练习7：试确定 中的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 练习8：证明：对于任意实数 ，有 练习11：在 中，证明： 练习14：描绘曲线 的图形. 证明：. 【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！ 例题与练习参考解答 【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！ 练习1：判定曲线的凹凸性. 【参考解答】：由于函数二阶可导，且 所以曲线在内都是严格凹的（下凸曲线）. 练习2：求曲线的凹凸区间及拐点. 【参考解答】：函数的定义域为. 求函数的一阶、二阶导数，得 令，得, . 以两点为分割点分割定义域，列表判定二阶导数符号： 所以曲线在区间 和 为凹曲线，在 为凸曲线. 点和 为曲线的拐点. 【注】：对于拐点的判定可以直接求三阶导数判定，即 则的 为奇数，故, 对应的图形上的两点为拐点. 练习3：设在内可导，且 为严格凹函数，如果 为 在 内的驻点，那么 必为 的最小值点． 【参考解答】：因为 为严格凹函数，所以当时，有 令，则，所以为 在 内的最小值． 练习4：如图，已知函数 的导函数 的图形，指出 单调增加和单调减少区间；指出 的极大值点和极小值点；并指出曲线 的拐点的个数． 【参考解答】： (1) 在 及 内， （ 除外），在 内， ，故 在 及 内递增，在 内递减． (2) 因为在 内有定义，且 故 所有可能的极值点为. 在 两侧附近， 左正右负，故 为极大值点；在 两侧附近， 左负右正，故 为极小值点；在 两侧附近， 不变号，故 不是极值点． (3) 在 , 及各点的两侧改变单调性，所以 为曲线的三个拐点． 练习5：设函数 满足 试讨论函数 及其图形在点 处是否可能取得极值点或拐点，并说明理由. 【参考解答】：(1) 由已知等式可知，如果 ，则 ，所以 不是极值点， 也不是拐点. (2) 若 ，则由已知等式可知， ，且 为可导函数，则 所以 ，即 为拐点，但不是极值点. 【注】：也可以由如下思路判定：因为 则由极限的保号性可知， 为拐点. 但是存在一个邻域，可以判断 不变号，所以不是极值点. 练习6：试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上. 【参考解答】：求函数的一阶、二阶导数，得 令 ，得 , , . 当时，，因此曲线在上是凸的； 当 时，，因此曲线在上是凹的； 当时，，因此曲线在 上是凸的； 当 时 ，，因此曲线在上是凹的，故曲线有三个拐点，分别为 由于 故这三个拐点在一条直线上. 练习7：试确定 中的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 【参考解答】：求函数的一阶、二阶、三阶导数，得 令 ，得 , . 由题意可知 ，故 ，所以 , 都为曲线的拐点. 由 知过点 的法线方程为 要使该法线过原点，则应满足这方程，将 , 代入上式，得 . 由 知，过点的法线方程为 同理，要使该法线过原点，将 , 代人上式得 . 所以，当.时，该曲线的拐点处的法线通过原点. 练习8：证明：对于任意实数 ，有 【参考解答】：令 ，则 即函数为严格凸函数，从而对 , , ，有 代入即得结论成立. 练习9：证明：当 时，成立不等式 【参考解答】：令 , ，则 , ，且 又函数 为 上的连续函数，所以函数 描述的曲线在 上为严格的凸曲线，于是可得 即原不等式成立. 练习10：证明(琴声(Jensen)不等式)：如果 是区间 上二阶可导的凸函数(描述的曲线为凹曲线)，则对任意的 ，, ，有 【参考解答】：【思路一】 用数学归纳法证明. 当 时，由定义显然成立. 设 时命题成立，则当时，设 令, ， 则 . 由假设得 于是由数学归纳法得不等式成立. 【思路二】 由于 是区间 上二阶可导的凸函数，故 记，则函数 在 处的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式为 其中 位于 之间. 代入 ，有 对 相加得 由于, ，代入得 【注1】：如果为凹函数，则不等式反向. 特别有：如果 是区间 上的凸函数， 则 其中等号当且仅当 时成立. 【注2】：琴声(Jensen)不等式与几何-算术平均值不等式一样，在写出其名称的前提下可以直接应用其结论讨论问题、验证结论，其结论可以认为是凸函数的一个性质直接使用！ 练习11：在 中，证明： 【参考解答】：令 ，则 即函数 为严格的凸函数（凹曲线），则由凸函数的性质（即Jensen不等式），得 即 由于 ，所以 其中等号当且仅当 时成立. 练习12：作出函数 的图形． 【参考解答】：(1) 函数的定义域为 ，它是奇函数，关于原点对称且过原点． (2) 求函数的一阶、二阶导数. 令得 ．令得． (3) 列表分析如下： (4) 因 ，故为曲线的水平渐近线且没有斜渐近线．由于函数在全体实数范围内连续，故没有铅直渐近线 (5) 描点作图，图形如下． 练习13：描绘方程描述的曲线图形. 【参考解答】：(1) ，函数的定义域为 (2) 求函数的一阶、二阶导数. 令得，且 和 ． (3) 列表分析如下： (4) 因 ，故为曲线的铅直渐近线．又 所以曲线有双侧的斜渐近线 (5) 描点作图，图形如下． 练习14：描绘曲线 的图形. 【参考解答】： (1) 所给函数的定义域为 由于函数是偶函数，它的图形关于轴对称，且由于函数是以 为周期的函数，因此可以只讨论 部分的图形. (2) 求函数的一阶、二阶导数，得 (3) 令 ，在 内，得, ； 令 得. 又函数在点 及 处无定义. (4) 分割区间判定 及 的符号和函数的单调性、凹凸性和拐点、极值点. 具体如下表： (5) 由于函数为周期函数，故没有水平渐近线与斜渐近线.由 则图形有两条铅直渐近线：及 . (6) 由 , 得图形上的点 . (7) 利用图形对称性及函数的周期性，作图如下. 练习15：设函数在中二阶连续可微，且 证明：. 【参考解答】： 【思路一】 由 知，函数在上是凸函数. 于是有 所以对，有 即所证不等式成立. 【思路二】 当时，由题设可知结论成立. 对 ，有 故. 相关推荐 高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！课件PDF文档请到QQ群文件分享下载！ ● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项 ● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项 |
|
|
