【原】函数的凹凸性原理

（一）函数凹凸性的性质：（琴生不等式的推广）

y=f(x)，单曲区间(a，b)内的x、y

1、凹函数：

（1）f′′(x)＞0

（2）f(x)/2+f(y)/2＞f(x/2+y/2)（琴生不等式）

（3）kf(x)+(1-k)f(y)＞f[kx+(1-k)y]（0＜k＜1）（推广）

2、凸函数：

（1）f′′(x)＜0

（2）f(x)/2+f(y)/2＜f(x/2+y/2)（琴生不等式）

（3）kf(x)+(1-k)f(y)＜f[kx+(1-k)y]（0＜k＜1）（推广）

（二）函数凹凸性的应用：

∵ (1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)

=[(1+1/x)^(-1)](1+1/x)^(1+x)+[(1+x)^(-1)](1+x)^(1+1/x)

∴ 只能设计f(x)=(1+x)^(1+1/x)

（1）令f(x)=(1+x)^(1+1/x)（凸函数）

（2）令k=1/(1+x)

（3）令y=1/x

（4）得出(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)＜4

（三）f(x)=(1+x)^(1+1/x)的凸性证明：（函数分析法）

（1）y=f(x)=(1+x)^(1+1/x)

（2）y′/y=1/x-(1/x^2)ln(1+x)=g(x)＞0

（3）y′′(x^4)/y=[ln(1+x)+x/√(1+x)][ln(1+x)-x/√(1+x)]＜0

（四）f(x)=(1+x)^(1+1/x)的渐近线：

（1）渐近线的定义：

当x→∞或-∞时，f(x)-L(x)=0，则称y=L(x)为y=f(x)的渐近线。

（2）f(x)=(1+x)^(1+1/x)的渐近线：

        （x→∞）f(x)≈1+x+lnx